Интегральное исчисление пределы Производные Экстремум функции Система координат Поверхности Матрицы булевы функции дифференциалы интеграл произведение векторов теорема Коши Физические задачи математика Функции Формула Тейлора

Непрерывные функции

Равномерная непрерывность.

Функция f(x), определенная на Х называется равномерно непрерывной на Х, если

"e>0$d>0"x¢,x¢¢ÎX,|x¢-x¢¢|<d:|f(x¢)-f(x¢¢)|<e

Непосредственно из определения следует, что всякая равномерно непрерывная функция на Х непрерывна на этом множестве.

Обратное, вообще говоря, неверно. Однако справедлива теорема

Теорема ( Кантор). Всякая непрерывная на [a,b] функция f равномерно непрерывна на [a,b].

Доказательство. От противного.

$e0>0"d>0$ u,v Î[a,b],|u-v|<d:|f(u) - f(u)|³e0. Для d=1/n $ un,vn,| un-vn|<1/n:

|f(un) - f(vn)|³e0 (1)

По теореме Больцано-Вейрштрасса $ = x0Î[a,b],  тогда и = x0. В силу непрерывности функции, . Таким образом

, что противоречит (1).

В 1948 году Н. Г. Чеботареву, одному из крупнейших современных алгебраистов, члену-корреспонденту Академии наук СССР, профессору Казанского университета, посмертно присуждена Государственная премия I степени за исследование по теории алгебраических уравнений, изложенное в монографии «Проблемы резольвент», опубликованной в 1947 году.

Выпуклость функции