Интегральное исчисление пределы Производные Экстремум функции Система координат Поверхности Матрицы булевы функции дифференциалы интеграл произведение векторов теорема Коши Физические задачи математика Функции Формула Тейлора

Непрерывные функции

Непрерывность элементарных функций.

1)Непрерывность функции ax, a>0.

Справедливо равенство .

a) Если a>1, обозначим , a=(an+1)n > nan, an<a/n , следовательно an – б.м..

Замечание. Отметим, что точно также можно доказать равенство . Именно, , n=(an+1)n > , an< , следовательно an – б.м..

b) Если a <1,то , b > 1.

Докажем, что (непрерывность в 0 функции ax ).

1° a> 1

Пусть {xk} последовательность типа Гейне для 0+0, то есть xk®0, xk>0. Можно считать, что xk < 1. Для последовательности целых частей дроби будут выполнены неравенства . Откуда, в частности, следует, что nk®+¥ и далее, переходя к пределу при k®¥ , получим требуемое равенство.

Аналогично рассматривается случай x® 0 - 0. Из существования и равенства односторонних пределов следует доказываемое утверждение .

2° Если a<1, то bx=1/ax, b=1/a > 1.

2) Функция ax непрерывна в точке x0 . Это следует из равенства .

3). Функция y=logax непрерывна, как обратная к непрерывной строго монотонной функции x=a y .

4). Степенная функция y=xa. Докажем непрерывность при x>0. Имеем xa=ea ln x, далее теорема о непрерывности суперпозиции.

5).

 суперпозиция непрерывной и имеющей предел функции. Аналогично доказывается, что

6) = ln a ,

ax - 1=y, x=loga(1+y),

x® 0 Û y® 0,

= ln a.

В 1948 году Н. Г. Чеботареву, одному из крупнейших современных алгебраистов, члену-корреспонденту Академии наук СССР, профессору Казанского университета, посмертно присуждена Государственная премия I степени за исследование по теории алгебраических уравнений, изложенное в монографии «Проблемы резольвент», опубликованной в 1947 году.

Выпуклость функции