Интегральное исчисление пределы Производные Экстремум функции Система координат Поверхности Матрицы булевы функции дифференциалы интеграл произведение векторов теорема Коши Физические задачи математика Функции Формула Тейлора

Непрерывные функции

Критерий непрерывности монотонной функции.

Теорема. Для того, чтобы монотонная функция f(x) определенная на [a,b] была непрерывна на [a,b] необходимо и достаточно, чтобы множество значений f(x) заполняло целиком отрезок с концами f(a), f(b) (либо[f(a), f(b)] либо [f(b), f(a)]).

Доказательство.

Лемма. Для монотонно возрастающей на данном отрезке функции существуют: для "x0Î(a,b], и

 для "x0Î[a,b).

Доказательство леммы. Положим для некоторого x0Î(a,b], A=, тогда для "xÎ[a,x0):f(x)£A и для "e>0$ x¢Î[a,x0):A-e <f(x¢). Так как функция монотонно возрастает, то "xÎ(x¢,x0):A-e < f(x¢) £ f(x)£A. Таким образом, равенство  доказано.

Аналогично для предела справа . Для монотонно убывающей функции справедливо похожее утверждение.

Следствие 1. Монотонно убывающая на [a,b] функция имеет конечные односторонние пределы.

Следствие 2. Монотонно убывающая (возрастающая) на [a,b] функция может иметь там лишь разрывы первого рода.

Доказательство критерия. Функцию будем предполагать монотонно возрастающей. Необходимость уже была доказана ранее ( пункт 4, следствие 2).

Достаточность. Предположим противное. В точке x0 имеется разрыв. Этот разрыв обязан быть разрывом первого рода и, следовательно, должно нарушаться одно из двух соотношений f(x0 - 0)= f(x0), f(x0)=f(x0+0). Пусть f(x0)¹f(x0+0). Так как функция возрастает, то это означает, что f(x0)<f(x0+0). По лемме f(x0+0)=. Имеем f(x)£ f(x0) при x £ x0, f(x0) < f(x0+0) £ f(x) при x > x0. Таким образом, значения между f(x0), f(x0+0) не достигаются, что противоречит условию теоремы.

Аналогично проводится доказательство в случае существования разрыва слева.

Замечание. Для монотонно убывающей функции доказательство проводится заменой f на –f.

Результаты исследования, связанные с изучением указанной выше брошюры Лобачевского, составили, по словам Чеботарева, его первую научную работу, помещенную впоследствии (1919) в журнале Казанского студенческого математического кружка под названием «Формула геометрии Лобачевского»

Выпуклость функции