Интегральное исчисление пределы Производные Экстремум функции Система координат Поверхности Матрицы булевы функции дифференциалы интеграл произведение векторов теорема Коши Физические задачи математика Функции Формула Тейлора

Непрерывные функции

Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции

Теорема. Если непрерывная на [a,b] функция f(x) принимает на концах промежутка значения разных знаков, то $cÎ(a,b):f(c)=0.

Доказательство. Пусть A=f(a)£ 0, B=f(b)³ 0. Далее производится последовательное деление отрезка пополам так, что f(an)£ 0£ f(bn). Общий шаг этого процесса: Обозначим середину отрезка [an, bn] через cn=. Обозначим [an+1, bn+1] тот из отрезков [an, cn], [cn, bn] , на концах которого функция принимает значения разных знаков f(an+1)£ 0£ f(bn+1). В результате этой процедуры будет построена последовательность вложенных, стягивающихся к нулю отрезков {[an, bn]} , таких, что f(an)£ 0£ f(bn).

an£ c£ bn, bn - an® 0Þan=c=bn ,

f(an)£ 0£ f(bn)Þ f(c)£ 0£ f(c)

Следствие 1. f непрерывна на [a,b], f(a)¹f(b). Тогда для "M из промежутка f(a), f(b) $cÎ[a,b]:f(c)=M

Доказательство: A=f(a)<B=f(b), доказанную теорему применяем к функции F(x)=f(x) – M .

Следствие 2. Пусть f(x) непрерывна на [a,b], m=inf f(x), M = sup f(x), тогда множеством значений этой функции будет отрезок [m,M].

Результаты исследования, связанные с изучением указанной выше брошюры Лобачевского, составили, по словам Чеботарева, его первую научную работу, помещенную впоследствии (1919) в журнале Казанского студенческого математического кружка под названием «Формула геометрии Лобачевского»

Выпуклость функции