Интегральное исчисление пределы Производные Экстремум функции Система координат Поверхности Матрицы булевы функции дифференциалы интеграл произведение векторов теорема Коши Физические задачи математика Функции Формула Тейлора

Непрерывные функции

Ограниченность непрерывной функции. Теоремы Вейерштрасса.

Лемма. Если {xn}Ì[a,b] и xn=x0, то x0Î[a.b].

Доказательство. Теорема о переходе к пределу в неравенствах.

Теорема 1(Первая теорема Вейерштрасса). Непрерывная на [a,b] функция f ограничена на [a,b].

Доказательство. Ограниченность: $M"xÎ[a,b]:|f(x)|£M. Отрицание "M$xÎ[a,b]:|f(x)|>M. В частности, "n$ xnÎ[a,b]:|f(xn)|>n. По теореме Больцано-Вейерштрасса найдется сходящаяся подпоследовательность {}® x0, x0Î[a,b]. Тогда, с одной стороны |f()|>nk, с другой стороны f()®f(x0).

Теорема 2. Непрерывная на [a,b] функция f(x) достигает своих точных верхней и точной нижней граней.

Доказательство. Пусть M= f(x), "n$ xn:M-1/n<f(xn)£M. Выберем сходящуюся подпоследовательность ®x0, x0Î[a,b], M-1/n<f()£M . Переходя к пределу в этих неравенствах при k®¥ получим требуемое равенство f(x0)=M.

Результаты исследования, связанные с изучением указанной выше брошюры Лобачевского, составили, по словам Чеботарева, его первую научную работу, помещенную впоследствии (1919) в журнале Казанского студенческого математического кружка под названием «Формула геометрии Лобачевского»

Выпуклость функции