Интегральное исчисление пределы Производные Экстремум функции Система координат Поверхности Матрицы булевы функции дифференциалы интеграл произведение векторов теорема Коши Физические задачи математика Функции Формула Тейлора

Непрерывные функции

Простейшие свойства непрерывных функций

1) Сумма, разность и произведение двух непрерывных функций в точке является непрерывной функцией в этой точке.

Следствие: Сумма, разность и произведение двух непрерывных функций на множестве является непрерывной функцией на этом множестве.

2) Сохранение знака непрерывной функции: f(x0)>0Þ$U(x0):f(x)>.

3) Если f(x) непрерывна в точке x0, g(x) непрерывна в x0, g(x0)¹0, то функция  непрерывна в x0.

4) Функция |f(x)| непрерывна, если непрерывна f(x).

5) Суперпозиция непрерывных функций есть непрерывная функция.

Если f(x) определена в окрестности x0 и непрерывна в x0,

g(x) определена в окрестности t0 и непрерывна в t0, g(t0)=x0. Тогда в некоторой окрестности тоски t0 определена суперпозиция F(t)=f(g(t)) и F(t) непрерывна в t0.

Все перечисленные свойства являются непосредственным следствием соответствующих свойств пределов функций.

Классификация точек разрыва

Если f(x) не является непрерывной в точке x0, то x0 – точка разрыва. В этом случае говорят, что функция разрывная (разрывна) в точке x0 , или , функция претерпевает разрыв в точке x0 .

В дальнейшем будет предлагать, что f(x) определена в некоторой окрестности x0 (быть может, односторонней).

Опр. Если существуют конечные пределы

f(x0 - 0)f(x) и f(x0+0)f(x)

и f(x) разрывна в точке x0 , то такой разрыв называется разрывом первого рода. Если при этом f(x0 - 0)=f(x0+0), то разрыв называется устранимым.

Разрыв не первого рода называется разрывом второго рода.

Аналогично классифицируются разрывы для функции, определенной в полуокрестности точки. Например, пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b].

  Она называется непрерывной справа в точке a , если f(a)= f(x). Если существует конечный предел f(a+0)f(x) и f(a)¹ f(a+0) , то такой разрыв называется разрывом первого рода (устранимым).

Результаты исследования, связанные с изучением указанной выше брошюры Лобачевского, составили, по словам Чеботарева, его первую научную работу, помещенную впоследствии (1919) в журнале Казанского студенческого математического кружка под названием «Формула геометрии Лобачевского»

Выпуклость функции