Локальный экстремум Собственные интегралы Дифференцирование под знаком интеграла Несобственные интегралы признак Вейерштрасса Интеграл Фурье Двойной интеграл Замена переменных для интегралов Формула Грина Теорема Стокса Задачи

Пусть поверхность S является кусочно-гладкой, ограниченной и замкнутой.

Пусть функции P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) являются не прерывными на поверхности и в области, которую эта поверхность ограничивает.

Пусть существуют частные производные

Которые не прерывны как на границе, так и в области, которую эта граница ограничивает.

В этом случае поверхностный интеграл второго рода, где нормаль внешняя равна тройному интегралу по объему V

Если нормаль во внутрь, то правая часть формулы берется со знаком «-»

Доказательство

  

рассматриваем 3-й случай(для первого и второго аналогично )

 

[an error occurred while processing this directive]

 f2(x,y)

 

  F1(x,y)

 

(поток через поверхность)

 

Дивергенция векторного поля.

Выражение вида если A(P,Q,R)

Пусть поле двухмерное y приращение массы в объеме

 

  V 

 

   

 

зададим направление

  [an error occurred while processing this directive]

 u(x,y,z)- найти ее производную

 

 

 

указывает направление наибольшей изменчивости скалярного поля u.

Опр. Линия тока для вектора поля с компонентами (P,Q,R)-это линия, касательная

в каждой точке которой есть вектор с компонентами (P,Q,R)

Свойства градиента

 

1)

 

2) однородность относительно умножения на константу

3)

4)

 

линия (поверхность) уровня.

Сечение поверхности линиями z=const

 

 

  500

 

 A(P,Q)


 Характеризует завихренное поле

 Некоторая операция, которая ставит в соответствие

  [an error occurred while processing this directive]

If P(x,y), Q(x,y), R=0 => Частный случай 2-мерного поля. Что

  он перпендикулярен направлению силового поля

Пусть есть замкнутый контур, тогда

 

 

Определение: Циркуляцией векторного поля (2-х,3-х мерного) называется криволинейный интеграл второго рода по замкнутому контуру.

Степень закрученности определяется взаимодействием на границы.

Формула Грина – частный случай формулы Стокса, если двумерное

 

Количественная характеристика завихренности векторного поля

 

 

 

 

Набла – оператор Гамельтона

 

 

 


2.                                                        Нет никаких источников из токов завихренности.

 

 

 

 


2.                                                                                                                          Оператор Лапласа.

 

 

 

Если векторное поле можно представить в виде grad u, то поле называется потенциальным.

 

Фалес - основатель так называемой Ионийской школы — считается одним из первых древнегреческих геометров и философов. Он был родом из города Милета. В молодости занимался торговлей. Торговые дела заставили его посетить Египет, где он познакомился с египетской наукой. На родину Фалес вернулся уже в летах и в Милете организовал свою школу.

Выпуклость функции