Локальный экстремум Собственные интегралы Дифференцирование под знаком интеграла Несобственные интегралы признак Вейерштрасса Интеграл Фурье Двойной интеграл Замена переменных для интегралов Формула Грина Теорема Стокса Задачи

 

 

аналог массы тела с неоднородной плотностью 

В этом случае  называется поверхностным интегралом 1-го рода

  Опр. Двусторонняя поверхность называется ориентированной, если из двух возможных направлений нормалей выбрано определенное.

  Опр. Правильно-ориентированна, если выбранное направление нормали составляет острый угол с положительным направлением оси Z.

 *Интеграл 1-го рода не зависит от ориентации поверхности.

  *Справедливо свойство линейности:

 

  *Свойство аддитивности

 

Если есть две поверхности, имеющие две общие точки площади, то интеграл 1-го рода по S

  !!! Для интегралов 1-го рода справедлива теорема о среднем

  Теорема-свойство

 

 

[an error occurred while processing this directive]

Существуют 3 частных вида поверхностных интегралов 2-го рода

  A(x,y,z)=(Rx,Ry,Rz)

 Векторная функция

 

 

Опр. Векторная функция каждой точке пространства ставит в соответствие неко­торый вектор (Rx,Ry,Rz) – в 3-х мерном пространстве, (Rx,Ry)- в двух мерном.

Пусть Rx=0,Ry=0,тогда получим поле вида

 


Рассмотрим поток не сжимаемой жидкости с плотностью ρ=1

пусть есть поверхностная функция R(x,y,z)=(P,Q,R) сколько жидкости вытекает через поверхность в направлении Z/.

 if 

суммы Дарбу.

Опр. если множество этих сумм имеет один и тот же предел при бесконечном разбиении (измельчении) поверхности, и предел не зависит от выбора xi,yi,zi,то

это число, являющиеся пределом ,называется поверхностным интегралом 2-го рода и обозначается  z Syz

 

поток жидкости (вдоль оси X).

[an error occurred while processing this directive]

Проектируем на yz

(P,Q,R) y

 if

определение аналогичное x

Поверхностный интеграл второго рода, обозначается

 if

 

Опр.общий интеграл второго рода – сумма 3-х частных поверхностных интегралов второго рода 

 

свойства поверхностных интегралов второго рода.

1) линейность

  Если вместо P возьмем линейную функцию (f+g), то интеграл будет линейной комбинаций.

Примечание определение поверхности второго интеграла второго рода было дано, когда ориентация поверхности такова, что выбранная нормаль к поверхности составляет острый угол с положительным направлением оси OZ.

В случае, если этот угол тупой все пределы интегрирования сумм Дарбу должны быть взяты со знаком «минус».

2) аддитивность

  поверхностный интеграл второго рода по поверхности, являющейся суммой двух поверхностей, которые одинаково ориентированы и имеют общую границу площади О равную сумме поверхностных интегралов второго рода по каждой из поверхностей.

3) при изменении ориентации поверхности, поверхностный интеграл меняет знак.

4) для поверхностного интеграла второго рода не выполняется теорема о среднем.

Любой поверхностный интеграл второго рода есть компонента ┴ поверхности умноженному на площадь.

Нормаль единичная и задана направляющими косинусами:

Направление движения спроектировать на нормаль (P,Q,R)

 

[an error occurred while processing this directive]

если поверхность задана явно z=f(x,y), то нормальный вектор:

попытаться параметризовать поверхность

можно сразу узнать как связаны dydz, dxdz,dydx

 

 

сделаем подстановку в


 

1) S: Z=f(x,y)

2)  

  

замечание когда поверхность проектируется однозначно на плоскость xy тогда и применяются 1),2)

поверхностные интегралы второго рода

1)

2) z=f(x,y)

если поверхность задана параметрически, то формула останется такой же, только

  

Если поверхность замкнутая, то испытаем формулу

Остроградского –Гаусса.

 

 

 

 

  опирается на плоскую поверхность ьподсчитать по формуле и «-»

Фалес - основатель так называемой Ионийской школы — считается одним из первых древнегреческих геометров и философов. Он был родом из города Милета. В молодости занимался торговлей. Торговые дела заставили его посетить Египет, где он познакомился с египетской наукой. На родину Фалес вернулся уже в летах и в Милете организовал свою школу.

Выпуклость функции