Локальный экстремум Собственные интегралы Дифференцирование под знаком интеграла Несобственные интегралы признак Вейерштрасса Интеграл Фурье Двойной интеграл Замена переменных для интегралов Формула Грина Теорема Стокса Задачи

Элементы теории поверхностей.

 

Опр. Отображение из плоскости в трехмерное пространство называется гомеоморфным, если

1) отображение является взаимнооднозначным

2) отображение является взаимнонепрерывным

  Образ любой фундаментальной последовательности в пространстве тоже фундаментальная последовательность и наоборот.

  Опр. Поверхность элементарная, если она является гомеоморфным отображением открытого круга (круг без внешней границы).

  Опр. Поверхность простая, если в любой точке этой поверхности существует такая эпсилон-окрестность, которая является элементарной поверхностью.

  Опр. Поверхность называется общей, если она является гомеоморфным отображением простой поверхности.

  Опр. Поверхность называется регулярной, если эту поверхность можно представить в параметрическом виде: x=x(U,V), y=y(U,V), z=z(U,V).

(Если поверхность задана явно z=f(x,y), то x=U, y=V, z=f(U,V)). Функции x, y, z в параметрическом задании k раз дифференцируемы (k>=1).

  Замечание: Если поверхность называется гладкой.

[an error occurred while processing this directive]

  Опр. Поверхность называется полной, если она содержит все свои предельные точки.

 Опр. Точка называется особой, если в этой точке нарушается условие гладкости поверхности, либо ранг матрицы из векторов x=x(U,V),  y=y(U,V), z=z(U,V) не равен 2.

  Пример:

 Пусть в пространстве есть некоторая поверхность Ф

 

 

  

   

 

 

 

 

 

 

 

 принадлежат касательной плоскости, следовательно  не должны быть параллельны, следовательно мы можем найти нормаль к поверхности.

  Чтобы найти нормаль к поверхности достаточно найти

  Единичная нормаль: 

  Опр. Лист Мебиуса – гладкая поверхность. Если начать двигаться от точки, то придем к ней только с обратной стороны (односторонняя поверхность).

  Поверхность называется двусторонней, если вернемся к той же точке, от которой начали двигаться.

 

Квадрируемость двусторонней поверхности

[an error occurred while processing this directive]

  Поверхность такая, что  касательная плоскость.

Возьмем  касательной плоскости: . Если при  для всех точек разбиения , то поверхность называется квадрируемой, а число  называется площадью этой поверхности.

  Пусть есть поверхность, заданная явно z=f(x,y) для  можно посчитать площадь. Если поверхность является гладкой, полной и ограниченной, без особых точек, то эта поверхность является квадрируемой и площадь поверхности может быть найдена по формуле: 

  Доказательство:

 

   

 

  из  - необходимое и достаточное условие ортогональности двух векторов, т.е. .

   В данной выбранной точке  является нормалью к нашей поверхности.

 

   

 

 

 

 

 

 

 

  

    

 

Теорема о квадрируемости в общем виде

  Если поверхность ограниченная, гладкая, полная, не имеет особых точек, эта поверхность задана параметрически x=x(U,V), y=y(U,V), z=z(U,V)

  В этом случае такая поверхность заведомо квадрируема и площадь этой поверхности равна 

  

  По определению  поверхности кусочков касательных плоскостей

 

если поверхность является гладкой, возьмем две нормали, находящиеся рядом, направляющие cos этих нормалей должны меняться гладко 

  

 

Фалес - основатель так называемой Ионийской школы — считается одним из первых древнегреческих геометров и философов. Он был родом из города Милета. В молодости занимался торговлей. Торговые дела заставили его посетить Египет, где он познакомился с египетской наукой. На родину Фалес вернулся уже в летах и в Милете организовал свою школу.

Выпуклость функции