Локальный экстремум Собственные интегралы Дифференцирование под знаком интеграла Несобственные интегралы признак Вейерштрасса Интеграл Фурье Двойной интеграл Замена переменных для интегралов Формула Грина Теорема Стокса Задачи

Локальный экстремум функций нескольких переменных. Необходимые условия безусловного локального экстремума.

 

Опр: Пусть дана функция  n-переменных 

Пусть дана точка M0 с координатами , точка M0 называется локальным max(min) если $ dокр точки M0 : "x Îdокр справедливо

( "x Î dокр ), dокр называется множество n мерном пространстве).

 

Опр: локального экстремума. Точка локального max или min называются точкой экстремума.

 

Необходимые условия экстремума функции многих переменных.

[an error occurred while processing this directive]

 

Опр: стационарной точки. Если функция дифференцируема в точке M0 то необходимым условием существования экстремума в этой точке является требование ее стационарности: 

( , если  )

Стационарная точка – точка где все частные производные по всем аргументам равны 0.

Д-во: Зафиксируем все переменные оставив только x1 

фиксируя любую другую переменную получаем тоже самое.

 

 

Опр: Необходимое условие экстремума.

В точке экстремума функции n-переменных дифференциал обращается в ноль.

Опр: дифференциала.  

 
 

 

 


Если локальный экстремум , если  - независимы

Замечание: если выполнено необходимое условие экстремума то она не обязательно является экстремумом.

Истина: Если точка – стационарная , то она не обязательно – экстремум , ВООБЩЕ ГОВОРЯ !

Экстремум же всегда является стационарной точкой !

Пример :  (0,0), x>0, y>0 ® z>0,  x<0, y<0® z<0,  но dz =0.

 

 

Фалес был атеистом. Он отвергал божественное происхождение Вселенной. Сущностью всех вещей считал воду (жидкообразное состояние материи). Выступал против распространенного в то время обожествления небесных светил (Солнца, Луны, Звезд), считал их материальными телами, наполненными огнем.

Выпуклость функции