Числовые ряды. Критерий Коши сходимости. Свойства сходящихся рядов

Таблица неопределенных интегралов
Два основных метода интегрирования
Предварительные сведения из алгебры
Разложение дроби на элементарные
Метод неопределенных коэффициентов
Интегрирование некоторых иррациональностей
Интегрирование дифференциальных биномов
Интеграл Римана Определения
Суммы Дарбу и их свойства
Нижний и верхний интегралы
Теорема Дарбу.
Классы интегрируемых функций
Свойства определенного интеграла
Пропускная способность в сетях связи
Теоремы о среднем
Производная интеграла по верхнему пределу
Формула Ньютона-Лейбница
Интегрирование по частям
Остаточный член формулы Тейлора
Некоторые применения определенного интеграла
Квадрируемые фигуры
Свойства площади
Площадь криволинейной трапеции
Вычисление площадей областей
Объем
Объем тела вращения
Площадь поверхности вращения
Первая теорема Гюльдена.
Несобственный интеграл первого рода
Критерий Коши
Несобственный интеграл второго рода
Признаки сравнения
Формула замены переменного
Функции Эйлера
Метрика. Расстояние.
Неравенство Коши-Буняковского
Теорема Больцано-Вейерштрасса
Геометрическая терминология
начертательная геометрия
История искусства
Сборник задач по физике
Атомная промышленность и наука
Применение MATLAB
при изучении курса электротехники
Имитационное моделирование
моделейПакет Simulink
Расчет электрических цепей
Моделирование цепей
переменного тока

Содержание

Числовые ряды. Критерий Коши сходимости. Свойства сходящихся рядов.

Пусть   - последовательность чисел. Рассмотрим величины  (1).

Определение. Если существует , то говорят, что сходится бесконечный ряд  (другое обозначение ) (2) и его сумма равна .

Если же   не существует, либо бесконечен, то говорят, что ряд (2) расходится. Величины  называются частичными суммами ряда. Можно кратко переформулировать данное выше определение: Ряд сходится Û существует предел его частичных сумм.

Пример.  (геометрическая прогрессия). Из элементарной алгебры:  . Если , то  при  и , т.е. ряд сходится. Если , то   при  и ряд расходится. Если , то ряд имеет вид .  и . Если , то . Такая последовательность не имеет предела, так как у нее есть два различных предела ( и 0), а значит общий предел не существует.

Определение. С бесконечным рядом (2) связаны ряды вида , называемые остатками ряда .

Утверждение. Ряд (2) сходится Û   остаток  - сходится.

Доказательство.

 сходится Þ сходится . Но  - это и есть исходный ряд.

. Ряд сходится Þ существует . Но  частичная сумма   ряда  имеет вид . Величина   не зависит от . Кроме того,   при . Поэтому существует . Утверждение доказано.

Итак, исследование сходимости ряда и исследование сходимости любого его остатка – эквивалентные задачи. Это означает, что при изучении сходимости достаточно рассматривать лишь члены ряда, начиная с некоторого номера. Это не влияет на сходимость. Изменится лишь сумма ряда.

Теорема.  (1).

Примечание. Поскольку   (2), неравенство (1) можно заменить на неравенство .

Следствие. (Необходимый признак сходимости ряда).

. Действительно, при  получаем неравенство , выполняющееся . Это значит, что . Согласно этому следствию, мы получаем новое доказательство того, что ряд расходится при .

Важный пример, показывающий, что необходимый признак сходимости отнюдь не является достаточным.

Ряды с неотрицательными членами. Теоремы сравнения. Признаки Даламбера, Коши, Гаусса.

Интегральный признак сходимости. Сходимость ряда .

Абсолютная сходимость. Свойства абсолютно сходящихся рядов.

Условная сходимость. Теорема Лейбница.

Равномерная сходимость функциональной последовательности, ряда. Признак Вейерштрасса.

Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций. Почленное интегрирование и дифференцирование ряда.

Степенные ряды. Радиус сходимости. Непрерывность суммы. Почленное интегрирование и дифференцирование.

Разложение элементарных функций в степенные ряды.

Ортонормированные системы функций. Обобщенные ряды Фурье. Тригонометрические ряды Фурье. Теорема сходимости.

Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение .

Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения. Уравнения вида .

Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка.

Дифференциальное уравнение n-ного порядка. Задача Коши для уравнения . Понижение порядка дифференциального уравнения.

Линейное дифференциальное уравнение n-ного порядка. Свойства линейного однородного дифференциального уравнения.

Линейная зависимость функций. Определитель Вронского.

Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения.

Линейное неоднородное уравнение. Принцип суперпозиции.

Метод вариации постоянных.

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение.

Метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

Математика производная, интеграл , дифференциальное исчисления