Интегральное исчисление пределы Производные Экстремум функции Система координат Поверхности Матрицы булевы функции дифференциалы интеграл произведение векторов теорема Коши Физические задачи математика Функции Формула Тейлора

Курс лекций математического анализа

Два замечательных предела.

Покажем, что  (1) Где х – измеряется в радианах.

 Рассмотрим окружность радиуса R=1 и центральный угол Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл


  A   Х  0 С В D
 т.к. хорда окружности меньше стягиваемой ею дуги, т.е. , откуда , т.е. , для

С другой стороны площадь кругового сектора ОАВ меньше площади .  или . Поэтому  для  т.к.  для  или

 (2) Эти последние неравенства не изменятся при замене х на –х, т.е. они будут справедливы в проколотой  - окрестности т. х=0.

Так как функция  непрерывна в т. х=0, т.е. , то из неравенств (2) с учетом теоремы о lim двух легавых вытекает формула (1).

Примеры: 1) 

2) 

Т.е. формула (2) полностью доказана.  Полагая в формуле 2  (если ) и применяя теорему о замене переменной в пределе получим другое представление 2 замечательного предела:  (2)  

Следствия: 1)  (3) - третий замечательный предел. Запишем второй замечательный предел по формуле (2и прологарифмируем его по основанию e:  здесь  так как функция ln(u) непрерывна в точке u=e, то переставляя местами знак предела и знак непрерывной функции получим:  или 2)  (4) здесь  в частности при  

 Положим Откуда ; при  т.к. показательная функция  непрерывна в точке Пользуясь теоремой о замене переменной в пределе и формулой (3) имеем

Полагая в формуле (4) a=e приходим к формуле (4) 3)

Наибольшую славу Пифагору принесла открытая им «теорема Пифагора», которая и до настоящего времени считается одной из важных теорем геометрии, используемых на каждом шагу при изучении геометрических вопросов. Частные случаи этой теоремы были известны некоторым древним народам еще до Пифагора.

Выпуклость функции