Интегральное исчисление пределы Производные Экстремум функции Система координат Поверхности Матрицы булевы функции дифференциалы интеграл произведение векторов теорема Коши Физические задачи математика Функции Формула Тейлора

Курс лекций математического анализа

БМФ и их свойства.

Определение. Функция  называется БМ при , если , т.е.

Пример:  - БМФ при  - БМФ при  (в т. х=1). Из определения предела функции при произвольном стремлении по Коши сразу вытекает, что функция  имеет конечный предел А при  тогда и только тогда, когда функция ( - А) является в этой точке БМ. Обозначая ее через  (т.е.  приходим к следующему представлению функции  в некоторой окрестности точки *.  при

Свойства БМФ.

I. Алгебраическая сума двух БМФ при некотором стремлении есть БМФ при том же стремлении.,  - БМФ при . Это значит, что , тогда очевидно, что   и следовательно  т.е. Ясно, что по индукции теорема легко распространяется на любое конечное число слагаемых.

II. Произведение ограниченной функции в некоторой окрестности точки * на БМФ при  есть БМФ при Одним из подходов к исследованию функций двух переменных является изучение поведения функции в точке, то есть определение направлений, в которых функция убывает или возрастает, и определение скорости возрастания или убывания.

 Пусть  - ограниченная функция в некоторой окрестности , т.е.:  Пусть далее  - БМФ при , т.е. Следствия1) Если  = С=const, то:  - БМФ при  где  - БМФ при .2) Т.к. функция, имеющая конечный предел при некотором стремлении ограничена в некоторой окрестности этого стремления, то произведение такой функции на БМФ при том же стремлении есть БМФ при том же стремлении. В частности, если эта функция сама является БМ то заключаем, что произведение двух БМ есть БМ. Этот последний результат легко обобщается по индукции на любое конечное число сомножителей.

 Теорема. (об арифметических операциях с функциями, имеющие пределы).Пусть функции  и  имеют в точке * пределы А и В соответственно, тогда функции  так же имеют в т. * пределы соответственно равные:  (в случае частного считаем, что ).   Пользуясь условиями теоремы и представлением функции, имеющей предел в точке * в виде суммы некоторого предела и БМФ, имеем  , где  и  - БМФ при  где ,

Следствия 1) Теорема по индукции распространяется на любое конечное число слагаемых или сомножителей.

2)  где С=const 3)

ББФ. Их связь с БМФ. Определение Функция  называется ББ при данном стремлении, если для:  пишут: Если , то пишут , если же , то пишут . Между ББФ и БМФ в точке * имеется тесная связь, которая выражается теоремой.

Теорема: Если функция  - БМФ в точке * и в некоторой окрестности точки * , то функция  ББФ в точке *. Выберем произвольно , тогда (найдется) Аналогично доказывается, что справедлива и обратная теорема:   Теорема Если  - ББФ при , то функция  - БМФ при

Две важные теоремы  

Теорема 1. (о замене переменных в пределе) Пусть:1) функция  переменной х преобразуется с помощью подстановки  в функцию  переменной z получается 2)  (конечный предел) причем вблизи точки  3)  тогда
 Доказательство по Гейне. Рассмотрим произвольную последовательность

Положим , тогда по Гейне последовательность  сходится к , причем  следовательно снова по Гейне с учетом , имеем что последовательно  сходится к А, т.е. Примечание В доказанной теореме функция  представлена как сложная функция переменной х посредством промежуточной переменой   поэтому доказанную теорему можно понимать как теорему о пределе сложной функции.  Теорема 2 (о переходе к пределу под знаком непрерывной функци и) Добавим к условиям теоремы 1 требования непрерывности функции  в точке .   Учитывая это и применяя доказательство теоремы 1 имеем: 

Операции с непрерывными функциями.  

Теорема Если функция  и  непрерывны в точке , то функции , ,  так же непрерывны в точке  (в случае частного считаем, что  в некоторой окрестности  

Докажем для частного:   где .

Наибольшую славу Пифагору принесла открытая им «теорема Пифагора», которая и до настоящего времени считается одной из важных теорем геометрии, используемых на каждом шагу при изучении геометрических вопросов. Частные случаи этой теоремы были известны некоторым древним народам еще до Пифагора.

Выпуклость функции