Интегральное исчисление пределы Производные Экстремум функции Система координат Поверхности Матрицы булевы функции дифференциалы интеграл произведение векторов теорема Коши Физические задачи математика Функции Формула Тейлора

Курс лекций математического анализа

БМФ и их свойства.

Определение. Функция  называется БМ при , если , т.е.

Пример:  - БМФ при  - БМФ при  (в т. х=1). Из определения предела функции при произвольном стремлении по Коши сразу вытекает, что функция  имеет конечный предел А при  тогда и только тогда, когда функция ( - А) является в этой точке БМ. Обозначая ее через  (т.е.  приходим к следующему представлению функции  в некоторой окрестности точки *.  при

Свойства БМФ.

I. Алгебраическая сума двух БМФ при некотором стремлении есть БМФ при том же стремлении.,  - БМФ при . Это значит, что , тогда очевидно, что   и следовательно  т.е. Ясно, что по индукции теорема легко распространяется на любое конечное число слагаемых.

II. Произведение ограниченной функции в некоторой окрестности точки * на БМФ при  есть БМФ при Одним из подходов к исследованию функций двух переменных является изучение поведения функции в точке, то есть определение направлений, в которых функция убывает или возрастает, и определение скорости возрастания или убывания.

 Пусть  - ограниченная функция в некоторой окрестности , т.е.:  Пусть далее  - БМФ при , т.е. Следствия1) Если  = С=const, то:  - БМФ при  где  - БМФ при .2) Т.к. функция, имеющая конечный предел при некотором стремлении ограничена в некоторой окрестности этого стремления, то произведение такой функции на БМФ при том же стремлении есть БМФ при том же стремлении. В частности, если эта функция сама является БМ то заключаем, что произведение двух БМ есть БМ. Этот последний результат легко обобщается по индукции на любое конечное число сомножителей.

 Теорема. (об арифметических операциях с функциями, имеющие пределы).Пусть функции  и  имеют в точке * пределы А и В соответственно, тогда функции  так же имеют в т. * пределы соответственно равные:  (в случае частного считаем, что ).   Пользуясь условиями теоремы и представлением функции, имеющей предел в точке * в виде суммы некоторого предела и БМФ, имеем  , где  и  - БМФ при  где ,

Следствия 1) Теорема по индукции распространяется на любое конечное число слагаемых или сомножителей.

2)  где С=const 3)

ББФ. Их связь с БМФ. Определение Функция  называется ББ при данном стремлении, если для:  пишут: Если , то пишут , если же , то пишут . Между ББФ и БМФ в точке * имеется тесная связь, которая выражается теоремой.

Теорема: Если функция  - БМФ в точке * и в некоторой окрестности точки * , то функция  ББФ в точке *. Выберем произвольно , тогда (найдется) Аналогично доказывается, что справедлива и обратная теорема:   Теорема Если  - ББФ при , то функция  - БМФ при

Две важные теоремы  

Теорема 1. (о замене переменных в пределе) Пусть:1) функция  переменной х преобразуется с помощью подстановки  в функцию  переменной z получается 2)  (конечный предел) причем вблизи точки  3)  тогда
 Доказательство по Гейне. Рассмотрим произвольную последовательность

Положим , тогда по Гейне последовательность  сходится к , причем  следовательно снова по Гейне с учетом , имеем что последовательно  сходится к А, т.е. Примечание В доказанной теореме функция  представлена как сложная функция переменной х посредством промежуточной переменой   поэтому доказанную теорему можно понимать как теорему о пределе сложной функции.  Теорема 2 (о переходе к пределу под знаком непрерывной функци и) Добавим к условиям теоремы 1 требования непрерывности функции  в точке .   Учитывая это и применяя доказательство теоремы 1 имеем: 

Операции с непрерывными функциями.  

Теорема Если функция  и  непрерывны в точке , то функции , ,  так же непрерывны в точке  (в случае частного считаем, что  в некоторой окрестности  

Докажем для частного:   где .

Наибольшую славу Пифагору принесла открытая им «теорема Пифагора», которая и до настоящего времени считается одной из важных теорем геометрии, используемых на каждом шагу при изучении геометрических вопросов. Частные случаи этой теоремы были известны некоторым древним народам еще до Пифагора.

фото эротика
Выпуклость функции