Интегральное исчисление пределы Производные Экстремум функции Система координат Поверхности Матрицы булевы функции дифференциалы интеграл произведение векторов теорема Коши Физические задачи математика Функции Формула Тейлора

Курс лекций математического анализа

Свойства функций

Теорема 3.

Если  (resp A<B) то $ окрестность  в которой выполняется неравенство >B (resp <B)   Пусть A>B положим  тогда  

При выбранном  левая из этих неравенств имеет вид >B resp доказывается 2 часть теоремы только в этом случае берем Следствие (сохранение функции знаки своего предела). Полагая в теореме 3 B=0, получаем: если  (resp ), то $ , во всех точках, которой будет >0 (resp <0), т.е. функция сохраняет знак своего предела. Теорема 4 (о предельном переходе в неравенстве).

Если в некоторой окрестности точки  (кроме быть может самой этой точки) выполняется условие  и данные функции имеют в точке  пределы, то .   На языке  и Введем функцию . Ясно, что  в окрестности т. . Тогда по теореме о сохранении функции значении своего предела имеем , но   Следствие. Из теоремы вытекает, что если в некоторой окрестности  (кроме возможно самой этой точки) выполняется условие  (resp ), то  (resp , в предположении что предел $). (Это утверждение иногда называют теоремой о пределе знако-постоянной функции)  Теорема 5. (о пределе промежуточной функции).

(1) Если  и в некоторой окрестности т.  (кроме быть может самой т. ) выполняется условие (2) , то функция  имеет в т.  предел и этот предел равен А.  по условию (1) $  для  (здесь  - наименьшая окрестность точки ).<

Но тогда в силу условия (2) для  значения  так же будет находится в  - окрестности точки А, т.е. .

Односторонние пределы и односторонняя непрерывность функции в точке.

Определение 1 (по Гейне) Число А называется правым (правосторонним) (resp левым) пределом функции  в т.  (или при ) если для любой последовательности  значение аргумента такой, что , (resp ) соответствующая последовательность  значений функции сходится к числу А. Определение 1 (по Коши) Число А называется правым (resp левым) пределом функции  в т.  (или при ) если для:  (resp ) Þ Þ Доказывается, что эти определения равносильны. Односторонние (resp правый и левый пределы функции  в т. ) обозначаются resp

Теорема 6

Для того, чтобы в т.  существовал конечный  необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали и были равны односторонние пределы в этой точке. Определение 2 Функция  называется непрерывной в т.  справа (resp слева) если  (resp ). Очевидно функция  непрерывна в т.  тогда и только тогда, когда она непрерывна в этой точке как справа так и слева. Определение Функция  называется непрерывной в некотором промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Если один из концов промежутка находится в конечной точке  и эта точка  промежутку, то непрерывность функции в т.  следует понимать в одностороннем смысле.

Предел функции на бесконечности.()

Определение 3 Последовательность  называется ББП (последовательностью) если  Пишут . Очевидно, ББП не ограничена. Обратное же утверждение вообще говоря неверно (пример ). Если для больших n члены , то пишут  это значит, что как только . Аналогично определяется смысл записи Определение 4 (по Гейне) Число А называется пределом функции  при  если любой ББП  значений аргумента последовательность  соответствующих значений функции сходится к А.

Определение 4 (по Коши). Число А называется  если . Доказывается, что эти определения равносильны. Если в определении  функции на бесконечности по Гейне считать в частности, что  (resp ), то тем самым определение по Гейне предел  (resp ). Если же в определении  на бесконечности по Коши считать в частности, что неравенство  выполняется при  (resp ), то тем самым определяется по Коши соответственно пределы функции  на  и на .  и Предел последовательности есть частный случай предела функции при  действительно возьмем последовательность {} и рассмотрим функцию  определенную на N, так что , тогда  и определение предела функции при  совпадает с определением предела последовательности . Сделаем одно общее замечание о конечном пределе функции: Мы изучили понятие конечного предела функции  при  (точка а конечна или нет, т.е. ) при этом были рассмотрены 6 возможных типов стремления аргумента х к точке а (два двусторонних и 4 односторонних), в подходе Коши каждому из этих типов отвечает свой тип окрестности А.

Тип стремления Тип окрестности
1  (т. а конечна)
2  (т. а конечна)
3 (т. а конечна)
4
5
6

Условимся любой из 6 типов стремления записывать символически  (* - любой из типов стремлений), а соответствующий ему тип окрестности , тогда определение конечного  может быть дано сразу для всех шести случаев в форме: . В качестве примера использования этого общего подхода сформулируем теорему.  

Теорема Если  при некотором стремлении, то  ограничена в некоторой окрестности, соответствующая данному стремлению. Доказательство проводится так же как в теореме 2 с очевидным изменением записи окрестности (т.е. ). Аналогично можно построить определения конечного предела функции по Гейне при .

Наибольшую славу Пифагору принесла открытая им «теорема Пифагора», которая и до настоящего времени считается одной из важных теорем геометрии, используемых на каждом шагу при изучении геометрических вопросов. Частные случаи этой теоремы были известны некоторым древним народам еще до Пифагора.

Выпуклость функции