Интегральное исчисление пределы Производные Экстремум функции Система координат Поверхности Матрицы булевы функции дифференциалы интеграл произведение векторов теорема Коши Физические задачи математика Функции Формула Тейлора

Курс лекций математического анализа

Пределы и непрерывность функции.
Предел функции в точке

Определение 1. (по Гейне) Постоянное число А называется пределом функции f(x) в точке  (или при ) если для  последовательности  такой, что  и  соответствующая последовательность значений функций  сходится А. Пишем:

Определение 2. (по Коши) Постоянное число А называется пределом функции  в точке  (или при ) если для произвольного числа  найдется число  такое, что из условия  (1) вытекает неравенство . Определение 2. (в кванторах)

Комментарий к определению по Коши. Означает, что значение функции  будут как угодно мало отличаться от постоянного числа А, если только соответствующее значение аргумента близки к . Доказывается что определения 1 и 2 эквивалентны. Геометрическая интерпретация определения по Коши. Т.к. неравенство (1) равносильно:  то какова бы ни была полоса, ограниченная прямыми  и , найдется интервал , такой что все точки графика  с абсциссами из этого интервала (кроме быть может точки с абсциссами ) окажутся внутри данной полосы. Дифференциальное уравнение второго порядка Математика Примеры вычисления интегралов
   

Подчеркнем, что определение Коши не требует, что бы функция  была определена в точке , поэтому в определении речь идет о проколотой  - окрестности точки  -  (окрестность точки  радиуса ). . ( - показывает что ).

Примеры:I. , рассмотрим две последовательности  ясно, что первая последовательность стремится к 0 при  и вторая так же стремиться к 0 при . Но: ; Очевидно, , . Видим, что соответствующие последовательности значений функций имеют разные пределы . Таким образом определение Гейне не удовлетворяет. Следовательно функция  в точке  предела не имеет.

II.    При  имеем: Выбираем произвольно  и положим , тогда  влечет или в символах: , т.е. . Видим, что предел функции в точке x=3 существует, а значение функции в этой точке тут совершенно ни при чем. Мы могли бы придать функции значение или не придавать никакое.

Непрерывность функции в точке.

Определение 2. Функция  называется непрерывной в точке  если:  (2). Это определение предъявляет функции  следующие требования:1) функция  должна быть определена в точке  и некоторой ее окрестности.2) Функция  должна иметь в точке  предел.3) Этот предел должен совпадать со значением функции в точке . Определение 2 означает, что для непрерывности в точке  функции знаки lim и f функции перестановочны, т.е. . Предел функции равен функции от предела аргумента. Если хотя бы одно из трех требований предъявляемым к функции  в определении 2 не выполняется, то говорят, что функция  разрывна в т. или имеет в т.  разрыв; при этом предполагается, что функция  определена в некоторой окрестности  кроме быть может т.. Тогда т.  - называется точкой разрыва функции .

Определение 2 аналитически выражает интуитивное представление о непрерывности графика функции т.е. кривой . Например такую кривую можно провести отрывая карандаша от бумаги.  x На рисунке:   тогда , т.е. Возвращаясь к функции , можем сказать, что в точке  нарушается сразу 2 условия непрерывности (неопределенность в т.  и не имеет предела в этой точке). Поэтому данная функция разрывна в т. . Возвращаясь к пример 2 видим, что для данной функции нарушается 3 условие непрерывности, поэтому функция разрывна. Если бы мы придали функции  в точке  значение 2, то измененная таким образом функция оказалась бы непрерывной в т. .

Наибольшую славу Пифагору принесла открытая им «теорема Пифагора», которая и до настоящего времени считается одной из важных теорем геометрии, используемых на каждом шагу при изучении геометрических вопросов. Частные случаи этой теоремы были известны некоторым древним народам еще до Пифагора.

Выпуклость функции