Интегральное исчисление пределы Производные Экстремум функции Система координат Поверхности Матрицы булевы функции дифференциалы интеграл произведение векторов теорема Коши Физические задачи математика Функции Формула Тейлора

Курс лекций математического анализа

Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций.

I. т.к. , для , то формула Маклорена имеет вид . (8) На любом отрезке , где  в силу того, что: , т.е. , получаем следующую оценку следующего члена  (9)

Полагая здесь x=r=1 имеем оценку погрешности приближенного вычисления числа e  (9) II. т.к. ,  то формула Маклорена имеет вид ; (10). Здесь n – нечетное число x в радианах.

Очевидно, что на любом отрезке  справедлива следующая оценка остаточного члена:  (11) III. Т.к. ; , то формула Макло-рена имеет вид: ; (12). Здесь n – четное число на любом отрезке  имеет очевидно для остаточного члена оценку (11). IV. Т.к. , то формула Маклорена имеет вид:  (13) где остаточный член имеет вид:  в форме Лагранжа. (14) для значений  имеем оценку, переходя в (14) к модулям: ; (15) Для значений  можно доказать, что имеет место оценка:  (16).

V. , где Т.к , то формула Маклорена имеет вид: ; (17) В частности когда  (натуральное число), то получаем формулу бинома Ньютона: .

Примеры:

1) Вычислить приближенно  с помощью дифференциала и оценить погрешность этого приближения. Запишем теперь формулу Тейлора с n=1  (положим здесь a=60°, x=61°, тогда ) имеем: предыдущее вычисление проведено с точностью до одной тысячной, таким образом  с точностью 0,001.2) при каких x справедливо с точностью до 0б0001 приближенная формула . Погрешность этой приближенной формулы согласно (12) , откуда:  таким образом приближенная формула при заданной точности вычислений, справедлива для таких x, что 3) Вычислить  с точностью 0,001  здесь   Оценивая остаточный член в формуле (17) , находим, что достаточно взять n=2; тогда:  и |проделывая это и округляя до 3-го знака| » 2,926 (с точностью до 0,001). Локальные формулы Тейлора. Локальная формула Тейлора-Маклорена позволяет эффективно исследовать поведение функции в окрестности данной точки, в частности вычисляя запишем ее для элементарной функций + (асимптотическое разложение).I. II. III. IV. V.

Вычислить: Имеем:

О жизни Пифагора до нас дошли очень скудные данные. По отрывочным сведениям некоторых историков известно, что Пифагор годился на острове Самосе. В молодости путешествовал по Египту, жил в Вавилоне, где имел возможность в течение 12 лет изучать астрономию и астрологию у халдейских жрецов.

Выпуклость функции