Интегральное исчисление пределы Производные Экстремум функции Система координат Поверхности Матрицы булевы функции дифференциалы интеграл произведение векторов теорема Коши Физические задачи математика Функции Формула Тейлора

Курс лекций математического анализа

Логарифмическое дифференцирование.

Определение.   Логарифмической производной функции y=f(x) называется производная ее логарифма. тогда производная функции y=f(x) может быть найдена так: . Рассмотрим степенную функцию   Имеем   тем самым формула (7) доказана. Применив прием логарифмического дифференцирования, мы можем вычислить производную показательно-степенной функции . Имеем, функции u(x) v(x) дифференцируемыми в т. x, а функцию u(x)>0 в некоторой окрестности т.x:  (23). Вычислим объем шара Примеры решения и оформления задач контрольной работы

Правило логарифмического дифференцирования рекомендуется применять на практике при дифференцировании произведения многих сомножителей. Дифференцирование неявной функции. Рассмотрим уравнение F(x,y)=0 относительно y. При некоторых условиях это уравнение определяет единственную функцию  называемая неявной функцией, задаваемая исходной функцией. Тогда . при дифференцировании применим теорему о производной сложной функции. В результате получиться линейное уравнение относительно y’ уравнение, решая которое находим y’.

Достаточные признаки сходимости Решение контрольной работы по математике.

 Примечания.1) Если производные  и  удовлетворяют всем условиям доказанной теоремы, то правило Лопиталя-Бернули может быть повторено.

2) Правило Лопиталя остается оправданным если .

3) Предел отношения функции  может $ и без того, чтобы $ предел относительно их производных.

4) Правило Лопиталя-Бернули остается в силе, когда  и   при . Итак, правило Лопиталя-Бернули, когда оно применимо позволяет раскрыть неопределенности типов: и .

5) Сравнение при помощи правила Лопиталя-Бернули поведения при  функции: показательно , степенной  и логарифмической  показывают, что показательная функция имеет более высокий порядок роста, чем степенная – более высокий порядок роста чем логарифмическая. .

Другие типы неопределенностей.

1)

 или же  и применяется правило Лопеталя-Бернули.

2) , если при ,  - ББ при , если же  при , то имеем неопределенность типа . Неопределенности типов  раскрываются с помощью предварительного логарифмирования и вычисления предела логарифма функции  что приводит к неопределенности типа .

 Примеры. 1)

2)

. Рассмотрим: |это отношение не имеет предела при | правило Лопиталя-Бернули не применимо. Найдем предел А непосредственно. 0

О жизни Пифагора до нас дошли очень скудные данные. По отрывочным сведениям некоторых историков известно, что Пифагор годился на острове Самосе. В молодости путешествовал по Египту, жил в Вавилоне, где имел возможность в течение 12 лет изучать астрономию и астрологию у халдейских жрецов.

Выпуклость функции