Интегральное исчисление пределы Производные Экстремум функции Система координат Поверхности Матрицы булевы функции дифференциалы интеграл произведение векторов теорема Коши Физические задачи математика Функции Формула Тейлора

Курс лекций математического анализа

Правила дифференцирования обратной функции.

Теорема

Пусть функции y=f(x) удовлетворяет всем условиям теоремы о  обратной функции  и имеет в точке  производную , тогда обратная функция  так же имеет производную в соответствующей точке  и справедлива формула  (6).
 Дадим аргументу y обр. ф-ции в точке  приращение  тогда в силу строгой монотонности обр. ф-ции ее приращение  в точке  будет отлично от 0 и поэтому можно записать . Перейдем в этом равенстве к пределу при  (при этом  в силу непрерывности функции y=f(x) в т. ).  Следовательно предел слева также  и по определению производной есть производная . Окончательно: . Геометрическая иллюстрация.  имеем:

 

 

Производные основных элементарных функций. 1. , где   (7) эта формула будет доказана позже. 2. Типовые задачи Математика примеры решения задач

; (8)  (9)
формулы (8) и (9) доказываются с помощью определения производной, 1 замечательного предела и непрерывности функции cos(x) и sin(x) соответственно. 3.
y=tg(x); где y=ctg(x)

Формулами (10) и (11) доказываются с использованием правила дифференцирования частного и формул (8) и (9). 4.  где   (12) ; перейдем к lim при  пусть  при   (2-ой замечательный предел).

 

Поэтому с учетом непрерывности логарифмической функции  или , если a=e . . 5.

y=arcsin(x)  (13) y=arccos(x)  (14)
 т.к. на    то корень арифметический по теореме о производной обратной функции  (13). Формула (14) доказывается аналогично или с помощью 6.
y=arctg(x)  (15) y=arcctg(x)  (16)

 по теореме о производной обратной функции . Формула (16) доказывается аналогично. 7.  где  по теореме о производной обратной функции имеем  таким образом ;  (17).

В частности, если a=e,  (18). 8.

y=sh(x)  (19) y=ch(x)  (20)
  Доказательство формулы (20). Имеем . Формула (19) доказывается аналогично. 9.
 (21)  (22)

При доказательстве используется производная частного, а потом формулы (19) и (20).

О жизни Пифагора до нас дошли очень скудные данные. По отрывочным сведениям некоторых историков известно, что Пифагор годился на острове Самосе. В молодости путешествовал по Египту, жил в Вавилоне, где имел возможность в течение 12 лет изучать астрономию и астрологию у халдейских жрецов.

Выпуклость функции