Курс лекций математического анализа

Геометрический смысл производной

Определение Касательной   к графику функции  называется предельное положение секущей при стремлении точки  к точке  вдоль графика(при этом  стремится нулю). Предположим, что кривая  имеет в точке  касательную. Очевидно, .

Имеем право перейти к пределу при ,т.к. предположили, что кривая имеет касательную или, в силу непрерывности функции  

Таким образом, производная функции  в точке  равна угловому коэффициенту касательной  проведённой к графику функции  в точке . Запишем уравнение касательной . Как известно из аналитической геометрии, уравнение прямой с угловым коэффициентом k через точку  имеет вид для касательной  будем, следовательно, иметь уравнение (T) В частности, если  то касательная имеет уравнение , т.е. горизонталь. Заметим, что если производная функции  в точке  бесконечная, то касательная к её графику в точке М вертикальна и имеет уравнение . Нормалью к графику функции   в точке х0 называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно касательной (Т). Следовательно, уравнение касательной имеет вид:  - уравнение нормали (N) Декартова, полярная и сферическая системы координат Решение задач по математике

Дифференцируемость функции в точке.

Определение Функция   называется дифференцируемой в точке х0, если её приращение в этой точке имеет вид: (4)  где: А - постоянное число    - бесконечно малая при .

Теорема

Для того чтобы функция f(x) , была дифференцируема в точке х0 необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную. Док-во: Пусть функция f(x) дифференцируема в точке x0, тогда имеет место равенство (4). Считая , из (4) получим: переходим к пределу при : , т.е. в точке х0 существует конечная производная. Обратно Пусть в точке х0 функция имеет конечную производную . Обозначим её А, она равняется: , - откуда , где  - БМ при . Умножая обе части на  последнее уравнение, приходим к уравнению (4), т.е. f(x) в точке х0 дифференцируема. q.e.d. Таким образом, дифференцируемость функции в точке и существование в этой точке её конечной производной - понятия равносильные (для функции многих переменных это будет не так).

Непрерывность дифференцируемой функции

Предположим, что функция f(x) производную f’(x0). Докажем, что функция f(x) непрерывна в точке х0 Док-во: q.e.d. Итак, дифференцируемость функции в точке влечёт её непрерывность в этой точке. Другими словами, непрерывность является необходимым условием дифференцируемости. Обратное же утверждение (непрерывность есть достаточное условие) не всегда верно. Достаточно рассмотреть . Эта функция, очевидно, непрерывна в точке х=0, но не дифференцируема в этой точке, т.к. Не дифференцируемость функции в точке геометрически означает отсутствие касательной к графику функции в соответствующей точке.

Основные правила дифференцирования

1. Производная константы равна 0:   Утверждение тривиально, т.к. в любой точке х приращение 2. Пусть u(x) и v(x) дифференцируемы в т. х, тогда функции  также дифференцируемы в точке х: (в случае частного, считаем ).q.e.d. Док-во: q.e.d. Аналогично для левой верхней кривой устанавливаются пределы

Вертикальные асимптоты.

Предположим, что в точке x=a  по крайней мере один из односторонних пределов функции f(x) бесконечен: (А) тогда точка M(x,f(x)) графика функции y=f(x) удаляется по этому графику в бесконечность, а её расстояние от прямой x=a стремится к нулю. Следовательно, согласно определению асимптоты, прямая x=a является асимптотой (вертикальной) кривой y=f(x).Очевидно, что обратно, если прямая x=a является асимптотой кривой y=f(x), то хотя бы одно из условий (А) выполняется.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Производная.

Пусть функция f(x) определена на некотором промежутке X и точки x0 и   x0 +Dx лежат на этом промежутке

Определение 1: Производной функции в точке x0 называют предел (если он существует и конечен):

Если в точке x0 выполняется условие: то говорят, что функция y=f(x )имеет в точке x0 бесконечную производную. В отличии от бесконечной производной введённая выше производная называется конечной.

Определение 2: Говорят, что функция y=f(x )имеет в точке x0 правую ( resp. левую) производную, если существует предел:


Каждая из односторонних производных может быть бесконечностью(определённого знака)

 

 

 

 

О жизни Пифагора до нас дошли очень скудные данные. По отрывочным сведениям некоторых историков известно, что Пифагор годился на острове Самосе. В молодости путешествовал по Египту, жил в Вавилоне, где имел возможность в течение 12 лет изучать астрономию и астрологию у халдейских жрецов.

Выпуклость функции