Производные функции, заданной параметрически

Таблица неопределенных интегралов
Два основных метода интегрирования
Предварительные сведения из алгебры
Разложение дроби на элементарные
Метод неопределенных коэффициентов
Интегрирование некоторых иррациональностей
Интегрирование дифференциальных биномов
Интеграл Римана Определения
Суммы Дарбу и их свойства
Нижний и верхний интегралы
Теорема Дарбу.
Классы интегрируемых функций
Свойства определенного интеграла
Пропускная способность в сетях связи
Теоремы о среднем
Производная интеграла по верхнему пределу
Формула Ньютона-Лейбница
Интегрирование по частям
Остаточный член формулы Тейлора
Некоторые применения определенного интеграла
Квадрируемые фигуры
Свойства площади
Площадь криволинейной трапеции
Вычисление площадей областей
Объем
Объем тела вращения
Площадь поверхности вращения
Первая теорема Гюльдена.
Несобственный интеграл первого рода
Критерий Коши
Несобственный интеграл второго рода
Признаки сравнения
Формула замены переменного
Функции Эйлера
Метрика. Расстояние.
Неравенство Коши-Буняковского
Теорема Больцано-Вейерштрасса
Геометрическая терминология
начертательная геометрия
История искусства
Сборник задач по физике
Атомная промышленность и наука
Применение MATLAB
при изучении курса электротехники
Имитационное моделирование
моделейПакет Simulink
Расчет электрических цепей
Моделирование цепей
переменного тока

 


Мгновенная скорость при прямолинейном движении

Касательная к кривой на плоскости

Производная

Итак, согласно предыдущим двум определениям, производная $ f'(x_0)$ функции $ f(x)$ в точке $ x_0$, правая производная $ f'_+(x_0)$ и левая производная $ f'_-(x_0)$ задаются, соответственно, формулами \begin{subequations}\begin{gather}
 f'(x_0)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{...
..._-(x_0)=\lim_{h\to0-}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h},
 \end{gather}\end{subequations}

Свойства производных

Замечания

Производные некоторых элементарных функций

Найдём производную функции $ f(x)=\sqrt{x}$ в точке $ x>0$.

Рассмотрим функцию $ f(x)=\mathop{\rm tg}\nolimits x$ как отношение $ \dfrac{\sin x}{\cos x}$

Примеры

Дифференциал

Теорема   Функция $ f(x)$ имеет дифференциал $ df(x_0;{\Delta}x)$ в точке $ x_0$ тогда и только тогда, когда она имеет производную $ f'(x_0)$ в этой точке; при этом
$\displaystyle df(x_0;{\Delta}x)=f'(x_0){\Delta}x.$

Производная композиции

Примеры

Примеры

Инвариантность дифференциала

Производная обратной функции

Производные некоторых элементарных функций (продолжение)

Пример

Сводка основных результатов о производных

Производные высших порядков

Пример

Дифференциалы высших порядков и их неинвариантность

Производные функции, заданной параметрически

Пусть задана зависимость двух переменных $ x$ и $ y$ от параметра $ t$, изменяющегося в пределах от $ {\alpha}$ до $ {\beta}$:

$\displaystyle x={\varphi}(t); y=\psi(t); t\in({\alpha};{\beta}).$

Пусть функция $ x={\varphi}(t)$ имеет обратную: $ t={\varphi}^{-1}(x)=\Phi(x)$. Тогда мы можем, взяв композицию функций $ y=\psi(t)$ и $ t=\Phi(x)$, получить зависимость $ y$ от $ x$: $ y=\psi(\Phi(x))$. Зависимость величины $ y$ от величины $ x$, заданная через зависимость каждой из них от параметра $ t$ в виде $ x={\varphi}(t), y=\psi(t)$, называется функцией $ y=y(x)$, заданной параметрически.

 

Производная функции, заданной неявно

 

Приближённое вычисление производных

Примеры и упражнения

Примеры и упражнения 2

Свойства дифференцируемых функций

Четыре теоремы о дифференцируемых функциях

В этом разделе мы рассмотрим некоторые утверждения, касающиеся функций, которые во всех точках данного множества имеют производную. Такие функции называются дифференцируемыми на данном множестве.

Правило Лопиталя

На основе теоремы Коши мы выведем правило, которое даст нам мощный способ вычисления пределов отношений двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин. Сформулируем его сначала для отношения бесконечно малых.

Теорема 5.5(Правило Лопиталя)   Пусть функции $ f(x)$ и $ g(x)$ непрерывны в некоторой окрестности $ E$ точки $ x_0$ и $ f(x_0)=g(x_0)=0$, то есть $ f(x)\to0$ и $ g(x)\to0$ при $ x\to x_0$. Предположим, что при $ x\in E,\;x\ne x_0$ функции $ f(x)$ и $ g(x)$ имеют производные $ f'(x)$ и $ g'(x)$, причём существует предел отношения этих производных: $\displaystyle \lim_{x\to x_0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=L.$

Замечания

Правило Лопиталя для отношения бесконечно больших

 

Сравнение бесконечно больших величин

Пусть $ \mathcal{B}$ -- некоторая база, и $ f(x)$ и $ g(x)$ -- функции, заданные на некотором окончании этой базы. В главе 2 мы изучали сравнение функций $ f(x)$ и $ g(x)$ при базе $ \mathcal{B}$ в случае, когда они является бесконечно малыми. Здесь же мы изучим сравнение бесконечно больших $ f(x)$ и $ g(x)$.

Примеры

Примеры

Выпуклость функции