Метод Ньютона (метод касательных) нахождение корней уравнения

 

     Пример 9.7   Решим методом Ньютона всё то же уравнение $ x^3+2x^2+3x+5=0$, взяв в качестве начального приближения $ x_0=-2$ и задав точность $ {\varepsilon}=0.000001$ (ту же, что была взята при решении этого уравнения методом одной касательной). Поскольку $ f'(x)=3x^2+4x+3$, то итерационная формула метода Ньютона будет такой:
$\displaystyle x_{i+1}=x_i-\dfrac{x_i^3+2x_i^2+3x_i+5}{3x_i^3+4x_i+3}.$
Применяя эту формулу, последовательно находим:
$\displaystyle x_1=-1.857143;x_2=-1.843842;x_3=-1.843734;x_4=-1.843734,$
так что $ \wt x=-1.843734$ с точностью $ {\varepsilon}$. Как мы видим, значение корня с нужной нам точностью было получено уже на третьем шаге. (Четвёртый шаг понадобился для того, чтобы можно было убедиться, что с нужной нам точностью значение перестало изменяться.)     
        Упражнение 9.2   Найдите тот же корень, начав с $ x_0=-1$. (Заметим, что итерационную формулу при этом менять не надо, в отличие от метода одной касательной.) Сколько потребуется итераций для достижения той же точности? Обратите внимание на то, что сначала приближения ($ x_1$ и $ x_2$) окажутся даже вне отрезка $ [-2;-1]$, но затем $ x_i$ быстро сходятся к $ x^*$ с той же стороны, что в примере. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах
Ответ: Потребуется 6 итераций.     

 

 
В Математическом институте им. В. А. Стеклова Академии наук СССР руководит отделом теории вероятностей и математической статистики. Является редактором журнала «Успехи математических наук» и математического отдела «Докладов АН СССР». Кроме того, он член редакции Большой советской энциклопедии

Выпуклость функции