Метод простых итераций Приближённое нахождение корней уравнений

 

        Теорема 9.3   Если функция $ {\varphi}(x)$ имеет производную в некоторой окрестности $ E$ корня $ x^*$ уравнения $ x={\varphi}(x)$, причём $ \vert{\varphi}'(x)\vert\leqslant {\gamma}<1$ при $ x\in E$, то последовательность итераций $ x_{i+1}={\varphi}(x_i)$, полученных при $ i=1,2,3,\dots$, начиная с $ x_0\in E$, сходится к корню $ x^*$.
При этом скорость сходимости задаётся неравенствами
$\displaystyle \vert x_i-x^*\vert\leqslant {\gamma}^i\vert x_0-x^*\vert,\quad i=1,2,3,\dots,$
$\displaystyle \vert x_{i+1}-x_i\vert\leqslant 4{\delta}{\gamma}^i,$
где $ 2{\delta}$ -- длина окрестности $ E$, а точность $ i$-го приближения -- оценкой
$\displaystyle \vert x_i-x^*\vert\leqslant 2{\delta}{\gamma}^i.$
        Доказательство.     Пусть $ x_0\in E$. По формуле конечных приращений, применённой к отрезку между точками $ x_0$ и $ x^*$, получаем
$\displaystyle {\varphi}(x_0)-{\varphi}(x^*)={\varphi}'(c_0)(x_0-x^*),$
где $ c_0$ лежит между $ x_0$ и $ x^*$. Значит,
$\displaystyle \vert{\varphi}(x_0)-{\varphi}(x^*)\vert\leqslant {\gamma}\vert x_0-x^*\vert,$
то есть
$\displaystyle \vert x_1-x^*\vert\leqslant {\gamma}\vert x_0-x^*\vert$
(напомним, что $ {\varphi}(x_0)=x_1$ и $ {\varphi}(x^*)=x^*$). Повторяя рассуждения для точек $ x_1,x_2,\dots,x_{i-1},x_i$ вместо $ x_0$, получаем:
$\displaystyle \vert x_2-x^*\vert=\vert{\varphi}(x_1)-{\varphi}(x^*)\vert\leqslant {\gamma}\vert x_1-x^*\vert\leqslant {\gamma}^2\vert x_0-x^*\vert;$   
$\displaystyle \vert x_3-x^*\vert=\vert{\varphi}(x_2)-{\varphi}(x^*)\vert\leqslant {\gamma}\vert x_2-x^*\vert\leqslant {\gamma}^3\vert x_0-x^*\vert;$   
$\displaystyle \dots$   
$\displaystyle \vert x_i-x^*\vert=\vert{\varphi}(x_{i-1})-{\varphi}(x^*)\vert\leqslant {\gamma}\vert x_{i-1}-x^*\vert\leqslant {\gamma}^i\vert x_0-x^*\vert;$   
$\displaystyle \vert x_{i+1}-x^*\vert=\vert{\varphi}(x_i)-{\varphi}(x^*)\vert\leqslant {\gamma}\vert x_i-x^*\vert\leqslant {\gamma}^{i+1}\vert x_0-x^*\vert;$   
$\displaystyle \dots$   

Так как $ 0<{\gamma}<1$, последовательность $ {\gamma}^i\vert x_0-x^*\vert$ стремится к 0 при $ i\to\infty$. Значит, $ x_i\to x^*$ при $ i\to\infty$.
Неравенство $ \vert x_i-x^*\vert\leqslant 2{\delta}{\gamma}^i$ очевидно, поскольку из того, что $ x_0$ и $ x^*$ лежат в окрестности $ E$ длины $ 2{\delta}$, следует, что $ \vert x_0-x^*\vert\leqslant 2{\delta}$.
Поскольку
$\displaystyle \vert x_{i+1}-x_i\vert\leqslant \vert x_{i+1}-x^*\vert+\vert x_i-x^*\vert,$
мы имеем
$\displaystyle \vert x_{i+1}-x_i\vert\leqslant {\gamma}^{i+1}\vert x_0-x^*\vert+...
...mma}+1)\vert x_0-x^*\vert<
{\gamma}^i\cdot2\cdot2{\delta}=4{\delta}{\gamma}^i,$
так как $ {\gamma}+1<2$ и $ \vert x_0-x^*\vert\leqslant 2{\delta}.$     
        Определение 9.1   Доказанные оценки показывают, что скорость сходимости итераций к корню не меньше, чем у геометрической прогрессии со знаменателем $ {\gamma}$, где $ {\gamma}$ -- величина, ограничивающая сверху абсолютную величину производной. Тем самым, чем меньше $ {\gamma}>0$, тем быстрее сходятся итерации. Наиболее быстро они будут сходиться, если график $ y={\varphi}(x)$ пересекает прямую $ y=x$, имея горизонтальную касательную, то есть при $ {\varphi}(x^*)=0$ (и, разумеется, при выборе начального приближения $ x_0$ достаточно близко к корню $ x^*$, так чтобы на отрезке между $ x_0$ и $ x^*$ производная мало отличалась от 0).
Рис.9.10.Быстрая сходимость итераций при горизонтальной касательной к графику

    
Выше мы отмечали, что привести уравнение $ f(x)=0$ к виду $ x={\varphi}(x)$ можно, выбирая $ {\varphi}(x)$ в виде $ {\varphi}(x)=x-{\lambda}(x)f(x)$, где $ {\lambda}(x)\ne0$ -- произвольная функция. При различных способах выбора $ {\lambda}(x)$ получаются разные модификации метода итераций, которые имеют отличающиеся свойства: разную скорость сходимости (но не меньшую той, что гарантирована теоремой) и разную потребность в вычислении значений функции $ f$ или $ {\varphi}$, а также их производных.
Отметим самые употребительные из этих методов.

 

В сочинениях по истории математики известен спор между сторонниками Лейбница и Ньютона о приоритете открытия дифференциального и интегрального исчисления. В настоящее время этот вопрос хорошо изучен. Ни тот, ни другой ученый плагиата не совершил. Как указывалось выше, к открытию нового исчисления Лейбниц и Ньютон пришли независимо друг от друга, каждый своеобразным путем, причем Ньютон несколько раньше Лейбница. Зато Лейбниц опередил своего коллегу в публикации и выработке более современного математического языка и символики

Выпуклость функции