Метод простых итераций Приближённое нахождение корней уравнений


2). График $ y={\varphi}(x)$ расположен, по крайней мере в некоторой окрестности корня, вне некоторого угла со сторонами, имеющими наклон более $ \frac{\pi}{4}$ к горизонтали (то есть стороны угла -- прямые $ y=f(x^*)\pm k(x-x^*)$, где $ k>1$):

Рис.9.7.График пересекает прямую $ y=x$ под большим углом: варианты расположения

Если функция $ {\varphi}(x)$ имеет производную $ {\varphi}'(x)$, то в этом случае при $ x$, близких к корню $ x^*$, выполнено неравенство $ \vert{\varphi}'(x)\vert>1$.

Рис.9.8.Числа $ x_0,x_1,x_2,\dots$ расходятся в случае $ \vert{\varphi}(x)\vert>1$: два варианта

Каждая следующая итерация $ x_{i+1}$ будет в этом случае расположена дальше от корня $ x^*$, чем предыдущая, $ x_i$. При этом, в зависимости от того, пересекает ли график прямую $ y=x$ "снизу вверх" или "сверху вниз" (см. рис.), последовательность $ \{x_i\}$ монотонно удаляется от корня $ x^*$ или же итерации удаляются от $ x^*$, оказываясь попеременно то справа, то слева от корня.

Ещё одно замечание: если не выполнено ни условие $ {\vert{\varphi}'(x)\vert<1}$, ни условие $ {\vert{\varphi}'(x)\vert>1}$, то итерации $ x_1,x_2,x_3,\dots$ могут зацикливаться. На чертеже ниже приведён пример зацикливания, когда уравнение имеет вид $ x=2x^*-x$.

Рис.9.9.Пример зацикливания итераций

Мы видим, что для сходимости итераций к корню, вообще говоря, не обязательно наличие производной у функции $ {\varphi}(x)$. Однако метод итераций гораздо удобнее формулировать в терминах, связанных со значениями производной. Именно так мы и сформулируем наши наблюдения в виде теоремы.

В сочинениях по истории математики известен спор между сторонниками Лейбница и Ньютона о приоритете открытия дифференциального и интегрального исчисления. В настоящее время этот вопрос хорошо изучен. Ни тот, ни другой ученый плагиата не совершил. Как указывалось выше, к открытию нового исчисления Лейбниц и Ньютон пришли независимо друг от друга, каждый своеобразным путем, причем Ньютон несколько раньше Лейбница. Зато Лейбниц опередил своего коллегу в публикации и выработке более современного математического языка и символики

Выпуклость функции