2). График
расположен, по крайней мере в некоторой окрестности корня, вне некоторого угла со сторонами, имеющими наклон более
к горизонтали (то есть стороны угла -- прямые
, где
):
Рис.9.7.График пересекает прямуюпод большим углом: варианты расположения
Если функция
имеет производную
, то в этом случае при
, близких к корню
, выполнено неравенство
.
Рис.9.8.Числарасходятся в случае
: два варианта
Каждая следующая итерация
будет в этом случае расположена дальше от корня
, чем предыдущая,
. При этом, в зависимости от того, пересекает ли график прямую
"снизу вверх" или "сверху вниз" (см. рис.), последовательность
монотонно удаляется от корня
или же итерации удаляются от
, оказываясь попеременно то справа, то слева от корня.
Ещё одно замечание: если не выполнено ни условие
, ни условие
, то итерации
могут зацикливаться. На чертеже ниже приведён пример зацикливания, когда уравнение имеет вид
.
Рис.9.9.Пример зацикливания итераций
Мы видим, что для сходимости итераций к корню, вообще говоря, не обязательно наличие производной у функции
. Однако метод итераций гораздо удобнее формулировать в терминах, связанных со значениями производной. Именно так мы и сформулируем наши наблюдения в виде теоремы.
В сочинениях по истории математики известен спор между сторонниками Лейбница и Ньютона о приоритете открытия дифференциального и интегрального исчисления. В настоящее время этот вопрос хорошо изучен. Ни тот, ни другой ученый плагиата не совершил. Как указывалось выше, к открытию нового исчисления Лейбниц и Ньютон пришли независимо друг от друга, каждый своеобразным путем, причем Ньютон несколько раньше Лейбница. Зато Лейбниц опередил своего коллегу в публикации и выработке более современного математического языка и символики