Отделение корней Приближённое нахождение корней уравнений

    Пример 9.2   Рассмотрим уравнение $ x^3+2x^2+3x+5=0$. Для функции $ {f(x)=x^3+2x^2+3x+5}$ найдём производную $ f'(x)=3x^2+4x+3$. У этого квадратного трёхчлена отрицательный дискриминант: $ D=4^2-4\cdot3\cdot3=-20$, поэтому $ f'(x)$ сохраняет знак коэффициента при $ x^2$, то есть $ f'(x)>0$ при всех $ x\in\mathbb{R}$. Следовательно, функция $ f(x)$ возрастает на всей оси $ Ox$ и может иметь не более одного корня. Вычислим значения $ f(x)$ в точках $ -2$ и $ -1$: $ f(-2)=-1;f(-1)=3$. Это значения разных знаков, поэтому корень существует и отделён на отрезке $ [-2;-1]$.     
        Пример 9.3   Для функции $ f(x)=x^3-4x+2$ найдём интервалы монотонности. Решим неравенство $ f'(x)=3x^2-4>0$ и получим:
$\displaystyle x\in(-\infty;-\dfrac{2}{\sqrt{3}})\cup(\dfrac{2}{\sqrt{3}};+\infty).$
На этих двух интервалах функция возрастает. Ясно, что на интервале
$\displaystyle x\in(-\dfrac{2}{\sqrt{3}};\dfrac{2}{\sqrt{3}})$
функция убывает. Найдём значения функции в точках экстремума:
$\displaystyle f(-\dfrac{2}{\sqrt{3}})=
2+\dfrac{16}{3\sqrt{3}}>0;
f(\dfrac{2}{\sqrt{3}})=2-\dfrac{16}{3\sqrt{3}}=\dfrac{8(\sqrt{3}-2)}{3\sqrt{3}}<0.
$
Значит, на отрезке убывания $ [-\dfrac{2}{\sqrt{3}};\dfrac{2}{\sqrt{3}}]$ отделён корень $ x^{**}$. Так как, очевидно, $ f(x)\to-\infty$ при $ x\to-\infty$ и $ f(x)\to+\infty$ при $ x\to+\infty$, то имеются ещё два корня: $ f(-3)=-13<0$ и $ f(3)=17>0$. Получили следующие отрезки, на которых отделены корни:
$\displaystyle x^*\in[-3;-\dfrac{2}{\sqrt{3}}]; x^{***}\in[\dfrac{2}{\sqrt{3}};3].$
    

Далее мы будем предполагать, что функция $ f(x)$ меняет знак при переходе через корень $ x^*$. Это всегда так, если корень $ x^*$ простой, то есть если $ f'(x^*)\ne0$.

 

В сочинениях по истории математики известен спор между сторонниками Лейбница и Ньютона о приоритете открытия дифференциального и интегрального исчисления. В настоящее время этот вопрос хорошо изучен. Ни тот, ни другой ученый плагиата не совершил. Как указывалось выше, к открытию нового исчисления Лейбниц и Ньютон пришли независимо друг от друга, каждый своеобразным путем, причем Ньютон несколько раньше Лейбница. Зато Лейбниц опередил своего коллегу в публикации и выработке более современного математического языка и символики

Выпуклость функции