Матрица линейного преобразования

 

В  примере 19.4 было показано, что преобразование $ n$ -мерного пространства, заключающееся в умножении координатных столбцов векторов на фиксированную матрицу, является линейным преобразованием. В этом разделе мы покажем, что все линейные преобразования конечномерного пространства устроены таким же образом.

Пусть $ L$  -- $ n$ -мерное линейное пространство, в котором задан базис $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ , $ \mathcal{A}$  -- линейное преобразование. Возьмем произвольный вектор $ x$ . Пусть $ {{\alpha}=\left(\begin{array}{c}{\alpha}_1\\ \vdots\\ {\alpha}_n\end{array}\right)}$  -- его координатный столбец. Координатный столбец вектора $ {\mathcal{A}(x)}$ обозначим $ {\beta}$ .

Запишем разложение вектора $ x$ по базису пространства $ {x={\alpha}_1e_1+{\alpha}_2e_2+\ldots+{\alpha}_ne_n}$ . Для образа этого вектора получим

$\displaystyle \mathcal{A}(x)=\mathcal{A}({\alpha}_1e_1+\ldots+{\alpha}_ne_n)= ... ..._1)+\ldots+{\alpha}_n\mathcal{A}(e_n)= \sum_{j=1}^n{\alpha}_j\mathcal{A}(e_j).$(19.2)
 


Векторы $ {\mathcal{A}(e_1),\,\mathcal{A}(e_2),\ldots,\,\mathcal{A}(e_n)}$ имеют какие-то координатные столбцы, обозначим их $ \left(\begin{array}{c}a_{11}\\ a_{21}\\ \vdots\\ a_{n1}\end{array}\right)$ , $ \left(\begin{array}{c}a_{12}\\ a_{22}\\ \vdots\\ a_{n2}\end{array}\right)$ , ..., $ \left(\begin{array}{c}a_{1n}\\ a_{2n}\\ \vdots\\ a_{nn}\end{array}\right)$ соответственно. В этой записи первый индекс показывает номер координаты, а второй индекс -- номер вектора. Соответственно,

$\displaystyle \mathcal{A}(e_j)=\sum_{i=1}^na_{ij}e_i,\quad j=1,\,2,\ldots,\,n.$
[an error occurred while processing this directive]

Подставим это выражение в равенство (19.2) и, используя  предложение 14.3, изменим порядок суммирования

$\displaystyle \mathcal{A}(x)=\sum_{j=1}^n{\alpha}_j\left(\sum_{i=1}^na_{ij}e_i\... ..._{ij}{\alpha}_j)e_i= \sum_{i=1}^n\left(\sum_{j=1}^na_{ij}{\alpha}_j\right)e_i.$

Это равенство означает, что $ i$ -той координатой вектора $ \mathcal{A}(x)$ служит $ {\displaystyle\sum_{j=1}^na_{ij}{\alpha}_j}$ .

Составим матрицу $ A$ из координатных столбцов векторов $ {\mathcal{A}(e_1)}$ , ...,$ {\mathcal{A}(e_n)}$

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\ a_{2... ...dots&a_{2n}\\ \hdotsfor{4}\\ a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn}\end{array}\right).$

Вычислим произведение матрицы $ A$ на столбец $ {\alpha}$

$\displaystyle A{\alpha}=\left(\begin{array}{c}{\displaystyle\sum_{j=1}^na_{1j}{... ..._j}\\ \vdots\\ {\displaystyle\sum_{j=1}^na_{nj}{\alpha}_j}\end{array}\right).$

Мы видим, что $ i$ -ый элемент столбца совпадает с $ i$ -ой координатой вектора $ {\mathcal{A}(x)}$ . Поэтому

$\displaystyle {\beta}=A{\alpha}.$(19.3)
 


Это означает, что в выбранном базисе действие любого линейного преобразования сводится к умножению матрицы на координатный столбец вектора.

Матрица $ A$ называется матрицей линейного преобразования $ \mathcal{A}$ . Еще раз напомним, как она составлена: первый столбец является координатным столбцом образа первого базисного вектора, второй столбец -- координатным столбцом образа второго базисного вектора и т.д.

      
В сочинениях по истории математики известен спор между сторонниками Лейбница и Ньютона о приоритете открытия дифференциального и интегрального исчисления. В настоящее время этот вопрос хорошо изучен. Ни тот, ни другой ученый плагиата не совершил. Как указывалось выше, к открытию нового исчисления Лейбниц и Ньютон пришли независимо друг от друга, каждый своеобразным путем, причем Ньютон несколько раньше Лейбница. Зато Лейбниц опередил своего коллегу в публикации и выработке более современного математического языка и символики

Выпуклость функции