Обратная функция Примеры и упражнения Непрерывность функции свойства пределов матрица Многочлен Тейлора Производная Дифференциал Производные высших порядков Теорема Ферма Правило Лопиталя Примеры Асимптоты графика Экстремум функции

Определение и примеры Линейные преобразования

Рассмотрим линейное пространство и преобразование $\mathcal{A}$ этого пространства, то есть закон, по которому каждому вектору из соответствует вектор из того же пространства. Вектор называется образом вектора и обозначается ${\mathcal{A}(x)}$ , а вектор называется прообразом вектора .
Определение 19.1 Преобразование $\mathcal{A}$ линейного пространства называется линейным, если для любых векторов и и любого числа ${\alpha}$ выполнены равенства

$\displaystyle \mathcal{A}(x+y)=\mathcal{A}(x)+\mathcal{A}(y),\quad \mathcal{A}({\alpha}x)={\alpha}\mathcal{A}(x),$

(19.1)

то есть образ суммы векторов равен сумме образов слагаемых, образ вектора, умноженного на число, равен произведению этого числа на образ вектора.
Замечание 19.1 В этой главе с каждым линейным преобразованием будет связана матрица, которую мы будем обозначать той же буквой, что и само преобразование. Чтобы их различать, мы для букв, обозначающих преобразование, будем использовать так называемый "каллиграфический" шрифт.
Линейное преобразование пространства называют также линейным отображением из в или линейным оператором из в .
Исходя из равенств (19.1) легко проверить, что
$\displaystyle \mathcal{A}\left(\sum_{i=1}^k{\alpha}x_i\right)=\sum_{i=1}^k{\alpha}\mathcal{A}(x_i),$
то есть образ линейной комбинации векторов равен линейной комбинации их образов.
Рассмотрим несколько примеров линейных преобразований.
Лейбниц наряду с Ньютоном, но независимо от него завершил открытие дифференциального и интегрального исчисления, составляющего самую первую основу всей современной высшей математики. Лейбницу, например, принадлежит более выпуклое, чем у Ньютона, решение некоторых вопросов высшей математики и более четкая символика и терминология, сохранившаяся до настоящего времени, В частности, названия «дифференциал» и «интеграл» были впервые введены Лейбницем.

Выпуклость функции