Евклидово пространство Курс лекций

 

Вспомним, как в обычном трехмерном пространстве мы вычисляли скалярное произведение векторов. Если координаты векторов

$\displaystyle {\bf a}=({\alpha}_1,\,{\alpha}_2,\,{\alpha}_3)$   и$\displaystyle \quad {\bf b}=({\beta}_1,\,{\beta}_2,\,{\beta}_3)$

были заданы в ортонормированном базисе, то скалярное произведение вычислялось по формуле

$\displaystyle {\bf a}{\bf b}={\alpha}_1{\beta}_1+{\alpha}_2{\beta}_2+{\alpha}_3{\beta}_3.$

Аналогичной формулой можно задать и скалярное произведение в $ n$ -мерном пространстве.

Пусть $ L$  -- вещественное $ n$ -мерное пространство, в котором задан базис $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ . Тогда векторы $ a$ и $ b$ из $ L$ задаются своими координатами:

$\displaystyle a={\alpha}_1e_1+{\alpha}_2e_2+\ldots+{\alpha}_ne_n,\quad b={\beta}_1e_1+{\beta}_2e_2+\ldots+{\beta}_ne_n.$

Скалярное произведение векторов, обозначаеся оно обычно $ {(a,b)}$ , задается формулой

$\displaystyle (a,b)={\alpha}_1{\beta}_1+{\alpha}_2{\beta}_2+\ldots+{\alpha}_n{\beta}_n.$(18.3)
 


В отличие от обычного трехмерного пространства, где с помощью транспортира и линейки можно измерить угол между векторами и длину вектора, в $ n$ -мерном пространстве ни угол между векторами, ни длину вектора измерить невозможно (как можно, например, измерить длину многочлена или угол между многочленами?). Поэтому ортонормированным в $ n$ -мерном пространстве называется тот базис, в котором скалярное произведение вычисляется по формуле (18.3).

Если $ {{\alpha}=\left(\begin{array}{c}{\alpha}_1\\ {\alpha}_2\\ \vdots\\ {\alpha}_n\end{array}\right)}$ , $ {{\beta}=\left(\begin{array}{c}{\beta}_1\\ {\beta}_2\\ \vdots\\ {\beta}_n\end{array}\right)}$  -- координатные столбцы векторов $ a$ и $ b$ , то скалярное произведение можно задать формулой

$\displaystyle (a,b)={\alpha}^{\top}{\beta}.$

Предоставляем читателю самостоятельно убедиться в совпадении этой формулы с формулой (18.3)

        Определение 18.5   Вещественное линейное пространство, в котором задано скалярное произведение называется евклидовым пространством.         

В трехмерном пространстве модуль вектора равен корню квадратному из скалярного произведения вектора на себя $ {\vert{\bf a}\vert=\sqrt{{\bf a}\cdot {\bf a}}}$ . В евклидовом пространстве модуль вектора определим аналогично

$\displaystyle \vert a\vert=\sqrt{(a,a)},$

то есть

$\displaystyle \vert a\vert=\sqrt{{\alpha}_1^2+{\alpha}_2^2+\ldots+{\alpha}_n^2}.$

В трехмерном пространстве с помощью склярного произведения определялся угол между векторами. В евклидовом пространстве тоже можно определить угол между векторами. Но угол в $ n$ -мерном пространстве не имеет существенного значения, кроме одного случая. В трехмерном проcтранстве два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

        Определение 18.6   Два вектора евклидова пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.         
       
Лейбниц наряду с Ньютоном, но независимо от него завершил открытие дифференциального и интегрального исчисления, составляющего самую первую основу всей современной высшей математики. Лейбницу, например, принадлежит более выпуклое, чем у Ньютона, решение некоторых вопросов высшей математики и более четкая символика и терминология, сохранившаяся до настоящего времени, В частности, названия «дифференциал» и «интеграл» были впервые введены Лейбницем.

Выпуклость функции