Изменение координат вектора при изменении базиса

 

Пусть в $ n$ -мерном линейном пространстве $ L$ выбран базис $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ , который мы будем для удобства называть "старый" и другой базис $ {e_1',\,e_2',\ldots,\,e_n'}$ , который мы будем называть "новый". Возьмем призвольный вектор $ a$ из $ L$ . Его координатный столбец в старом базисе обозначим $ {{\alpha}=\left(\begin{array}{c}{\alpha}_1\\ {\alpha}_2\\ \vdots\\ {\alpha}_n\end{array}\right)}$ , а в новом -- $ {{\alpha}'=\left(\begin{array}{c}{\alpha}_1'\\ {\alpha}_2'\\ \vdots\\ {\alpha}_n'\end{array}\right)}$ . Нам нужно выяснить, как связаны друг с другом координаты в старом и в новом базисе. Для этого нам сначала нужно "связать" друг с другом старый и новый базисы. Запишем разложения новых базисных векторов по старому базису

\begin{displaymath}\begin{array}{c} e_1'={\sigma}_{11}e_1+{\sigma}_{21}e_2+\ldo... ...a}_{1n}e_1+{\sigma}_{2n}e_2+\ldots+{\sigma}_{nn}e_n.\end{array}\end{displaymath}

Составим матрицу, столбцами которой служат координатные столбцы векторов нового базиса

$\displaystyle S=\left(\begin{array}{cccc} {\sigma}_{11}&{\sigma}_{12}&\ldots&{... ...sfor{4}\\ {\sigma}_{n1}&{\sigma}_{n2}&\ldots&{\sigma}_{nn}\end{array}\right).$

Эта матрица называется матрицей перехода от старого базиса к новому.

        Замечание 18.1   Матрица перехода всегда невырождена, то есть $ {\vert S\vert\ne0}$ .         
        Предложение 18.5   Координатные столбцы в старом базисе и в новом базисе связаны формулой
$\displaystyle {\alpha}=S{\alpha}',$(18.1)
 

где справа стоит произведение матрицы перехода $ S$ на матрицу-столбец.

        Доказательство.     Так как $ {\alpha}'$  -- координатный столбец вектора $ a$ в новом базисе, то

$\displaystyle a=\sum_{j=1}^n{\alpha}_j'e_j'.$

Заменив векторы $ e_j'$ их разложениями по старому базису, получим

$\displaystyle a=\sum_{j=1}^n{\alpha}_j'({\sigma}_{1j}e_1+{\sigma}_{2j}e_2+\ldot... ..._{i=1}^n{\sigma}_{ij}e_i=\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^n {\alpha}_j'{\sigma}_{ij}e_i.$

В силу предложения 14.3 изменим порядок суммирования

$\displaystyle a=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n{\alpha}_j'{\sigma}_{ij}e_i=\sum_{i=1}^n\left(\sum_{j=1}^n {\sigma}_{ij}{\alpha}_j'\right)e_i.$

Здесь мы получили разложение вектора $ a$ по старому базису, причем координата вектора с номером $ i$ равна $ \displaystyle \sum_{j=1}^n{\sigma}_{ij}{\alpha}_j'$ . Элемент с номером $ i$ столбца $ S{\alpha}'$ будет иметь такой же вид. Следовательно, формула  (18.1) доказана.     

Лейбниц наряду с Ньютоном, но независимо от него завершил открытие дифференциального и интегрального исчисления, составляющего самую первую основу всей современной высшей математики. Лейбницу, например, принадлежит более выпуклое, чем у Ньютона, решение некоторых вопросов высшей математики и более четкая символика и терминология, сохранившаяся до настоящего времени, В частности, названия «дифференциал» и «интеграл» были впервые введены Лейбницем.

Выпуклость функции