Аналитическая геометрия Упражнения и задачи


        Упражнение 7.3   Найдите область определения и вертикальные асимптоты графика функции
$\displaystyle f(x)=\dfrac{x^3+2x^2-1}{x(x+1)(x-2)}.$
Подсказка:
Рассмотрите точки $ x$, в которых знаменатель обращается в 0. Внимание: в одной из этих точек вертикальной асимптоты нет, так как функция имеет устранимый разрыв.
Решение:
Область определения составляют все точки оси $ Ox$, кроме 0, $ -1$ и 2:
$\displaystyle \mathcal{D}(f)= \mathbb{R}\diagdown \{-1;0;2\}=(-\infty;-1)\cup(-1;0)\cup(0;2)\cup(2;+\infty).$
Заметим теперь, что при $ x=-1$ числитель также обращается в 0:
$\displaystyle (-1)^3+2(-1)^2-1=-1+2-1=0.$
Значит, многочлен, стоящий в числителе, делится нацело на $ x-(-1)=x+1$. Деление столбиком даёт:
$\displaystyle x^3+2x^2-1=(x+1)(x^2+x-1).$
Значит, при $ x\ne-1$ дробь $ f(x)$ можно сократить на $ x+1$:
$\displaystyle f(x)=\dfrac{(x+1)(x^2+x-1)}{x(x+1)(x-2)}= \dfrac{x^2+x-1}{x(x-2)},$
откуда видно, что при $ x\to-1$ функция стремится к $ \dfrac{(-1)^2+(-1)-1}{(-1)(-1-2)}=-\dfrac{1}{3},$ а не к $ \infty$.
При $ x$, равном двум другим корням знаменателя, 0 и 2, числитель в 0 не обращается, а равен $ -1$ и $ 15$ соответственно. Значит, при $ x\to0$ и при $ x\to2$ $ f(x)\to\infty$, и прямые $ x=0$ и $ x=2$ -- вертикальные асимптоты.
Ответ:
$\displaystyle \mathcal{D}(f)= \mathbb{R}\diagdown \{-1;0;2\}=(-\infty;-1)\cup(-1;0)\cup(0;2)\cup(2;+\infty);$
вертикальные асимптоты: $ x=0$ и $ x=2$.     
        Упражнение 7.4   Найдите вертикальные асимптоты графиков функций:
а) $ f(x)=\dfrac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1};$
б) $ f(x)=\dfrac{x^3+1}{x^4-1}$;
в) $ f(x)=\dfrac{x^2-4x+3}{x^3-1}$.
Ответы: а) $ x=0$; б) $ x=1$; в) вертикальных асимптот нет.     
        Упражнение 7.5   Найдите наклонные или горизонтальные асимптоты графика функции
$\displaystyle f(x)=\dfrac{3x^2-2x+1}{x+3}.$
Подсказка:
Воспользуйтесь общими формулами для $ k$ и $ b$ в уравнении асимптоты $ y=kx+b$. Пределы при $ x\to-\infty$ и при $ x\to+\infty$ здесь можно искать заодно.
Решение:
Найдём $ k$ и $ b$:
$\displaystyle k=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{3x^2-2x+1}{x(x+3)}= \lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{3-2\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{3}{x}}= \dfrac{3-0+0}{1+0}=3;$
$\displaystyle b=\lim_{x\to\pm\infty}[\dfrac{3x^2-2x+1}{x+3}-3x]= \lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{(3x^2-2x+1)-3x(x+3)}{x+3}=$   
$\displaystyle =\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{-11x+1}{x+3}= \lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{-11+\frac{1}{x}}{1+\frac{3}{x}}=-11.$   
 

Итак, прямая $ y=3x-11$ служит наклонной асимптотой графика $ y=\dfrac{3x^2-2x+1}{x+3}.$
Ответ: наклонная асимптота при $ x\to\pm\infty$ имеет уравнение $ y=3x-11$.     
      

Лейбниц наряду с Ньютоном, но независимо от него завершил открытие дифференциального и интегрального исчисления, составляющего самую первую основу всей современной высшей математики. Лейбницу, например, принадлежит более выпуклое, чем у Ньютона, решение некоторых вопросов высшей математики и более четкая символика и терминология, сохранившаяся до настоящего времени, В частности, названия «дифференциал» и «интеграл» были впервые введены Лейбницем.

Выпуклость функции