Примеры исследования функций и построения графиков


   Пример 7.41   Исследуем функцию $ f(x)=\dfrac{x^2+x}{x^2-3x+2}$ и построим её график.
1). Заметим, что знаменатель имеет корни $ 1$ и $ 2$, так что функцию можно представить в виде
$\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2+x}{(x-1)(x-2)}.$
Теперь легко видеть, что области определения функции не принадлежат только точки 1 и 2:
$\displaystyle \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{1;2\}=(-\infty;1)\cup(1;2)\cup(2;+\infty).$
Область значений $ \mathcal{E}(f)$ найти без всяких вычислений мы не можем; отложим этот вопрос до нахождения локальных экстремумов.
2). Поскольку область определения $ \mathcal{D}(f)$ не симметрична относительно точки 0, функция не может быть ни чётной, ни нечётной. Очевидно также, что она не периодична (хотя бы потому, что её область определения не имеет периодической структуры).
3). Область определения этой элементарной функции имеет две граничных точки: 1 и 2.
При $ x\to1$ значение числителя стремится к $ 1^2+1=2$, а знаменателя -- к 0, поэтому $ f(x)\to\infty$ при $ x\to1$. Значит, вертикальная прямая $ x=1$ -- это вертикальная асимптота графика $ y=f(x)$. При $ x\to1-$ (то есть в достаточно малой левой окрестности точки 1) числитель положителен, а знаменатель состоит из двух отрицательных сомножителей, откуда следует, что $ f(x)\to+\infty$ при $ x\to1-$. При $ x\to1+$ числитель снова положителен, а в знаменателе множитель $ x-1$ положителен, а $ x-2$ отрицателен. Получаем, что $ f(x)\to-\infty$ при $ x\to1+$.
При $ x\to2$ предел числителя равен $ 2^2+2=6$, а знаменателя -- нулю, поэтому $ {f(x)\to\infty}$ при $ x\to2$. Тем самым, вертикальная прямая $ x=2$ служит второй вертикальной асимптотой графика $ y=f(x)$. При $ x\to2-$ числитель положителен, а знаменатель отрицателен, поскольку $ x-1>0$, а $ x-2<0$. Отсюда следует, что $ f(x)\to-\infty$ при $ x\to2-$. При $ x\to2+$ числитель снова положителен, а в знаменателе оба множителя положительны. Получаем, что $ f(x)\to+\infty$ при $ x\to2+$.
4). Поскольку числитель и знаменатель -- многочлены одной и той же (второй) степени, то легко видеть, что $ f(x)$ имеет предел при $ x\to\pm\infty$:
$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\dfrac{x^2+x}{x^2-3x+2}=
\lim_{x\to\infty}\dfrac{1+\frac{1}{x^2}}{1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}=
\dfrac{1+0}{1-0+0}=1.$
Следовательно, горизонтальная прямая $ y=1$ служит горизонтальной асимптотой графика как при $ x\to-\infty$, так и при $ x\to+\infty$. (Искать наклонную асимптоту в виде $ y=kx+b$ и находить $ k$ и $ b$ по общим формулам нам теперь нет никакой необходимости.)
5). Найдём точки пересечения графика с осями координат. Поскольку $ f(0)=0$, то график пересекает ось $ Oy$ (и, одновременно, ось $ Ox$) в начале координат.
Приравнивая числитель к нулю, получаем уравнение $ x^2+x=0$, которое имеет два корня: $ x=0$ и $ x=-1$. Значит, график пересекает ось $ Ox$ в этих двух точках (одну из них мы уже отметили ранее).
Пользуясь методом интервалов (известным из школьной программы), определим знак функции на интервалах между корнями и точками разрыва. Таких интервалов получается пять: $ (-\infty;-1)$; $ (-1;0)$; $ (0;1)$; $ (1;2)$; $ (2;+\infty)$.
Рис.7.48.Интервалы знакопостоянства функции $ f(x)$

На этом рисунке знаком $ +$ отмечены те интервалы, на которых функция положительна, и знаком $ -$ те, где она отрицательна.
6). Найдём производную:
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{-4x^2+4x+2}{(x-1)^2(x-2)^2}.$
Для нахождения интервалов возрастания решим неравенство $ f'(x)>0$, эквивалентное квадратному неравенству $ -4x^2+4x+2>0$ (при $ x\ne1,\;x\ne2$), поскольку знаменатель принимает положительные значения. Решением квадратного неравенства служит интервал $ (\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2})$; однако точка $ x=1$, не входящая в $ \mathcal{D}(f)$, принадлежит этому интервалу. Тем самым, интервалов возрастания функции $ f(x)$ два: это $ (\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2};1)$ и $ (1;\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2})$.
Для нахождения интервалов убывания нужно решить неравенство $ f'(x)<0$, или $ {-4x^2+4x+2<0}$ (при $ x\ne1,\;x\ne2$). Решением квадратного неравенства служит, очевидно, объединение двух интервалов $ (-\infty;
\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2})$ и $ (\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2};+\infty)$; точка $ x=2$ делит второй из них на две части. Тем самым, функция $ f(x)$ убывает на трёх интервалах: $ (-\infty;
\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2})$, $ (\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2};2)$ и $ (2;+\infty)$.
В точке $ x_1=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}$ убывание функции сменяется возрастанием. При этом $ f(x)$ непрерывна в точке $ x_1$, как любая элементарная функция в любой точке своей области определения. Значит, $ x_1$ -- точка локального минимума. Значение функции в этой точке минимума равно
$\displaystyle f_{\min}=f(x_1)=\dfrac{3-2\sqrt{3}}{3+2\sqrt{3}}=4\sqrt{3}-7\approx-0.2.$
В точке $ x_2=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$ возрастание функции сменяется убыванием. При этом функция $ f(x)$ непрерывна в точке $ x_2\in\mathcal{D}(f)$. Значит, $ x_2$ -- точка локального максимума. Значение функции в точке максимума равно
$\displaystyle f_{\max}=f(x_2)=\dfrac{3+2\sqrt{3}}{3-2\sqrt{3}}=-4\sqrt{3}-7\approx-13.8.$
Теперь мы можем записать область значений функции: это
$\displaystyle \mathcal{E}(f)=(-\infty;f_{\max}]\cup[f_{\min};+\infty)\approx
(-\infty;-13.8]\cup[-0.2;+\infty).$
7). Найдём вторую производную:
$\displaystyle f''(x)=4\dfrac{2x^3-3x^2+x+5}{(x-1)^3(x-2)^3}.$
Для нахождения интервалов выпуклости нужно решить неравенство $ f''(x)>0$. Заметим, что числитель совпадает с функцией $ g(x)$, рассмотренной нами в предыдущем примере. Там мы видели, что $ g(x)$ меняет знак при переходе через точку $ x_0\approx-0.919$. Поскольку знаменатель содержит нечётные степени биномов $ x-1$ и $ x-2$, то они также меняют знак при переходе, соответственно, через точки 1 и 2. Итак, $ f''(x)$ меняет знак при переходе через три точки: $ x_0$, 1 и 2. Из этих трёх точек функция $ f(x)$ непрерывна только в точке $ x_0$, так что это единственная точка перегиба. Методом интервалов легко выясняем, что на интервалах $ (-\infty;x_0)$ и $ (1;2)$ функция вогнута, а на интервалах $ (x_0;1)$ и $ (2;+\infty)$ -- выпукла.
8). С учётом предыдущих семи пунктов строим график функции $ y=f(x)$.
Рис.7.49.График функции $ f(x)=\dfrac{x^2+x}{x^2-3x+2}$

Глядя на график, замечаем, что для полноты картины хорошо бы ещё найти ту точку, где график пересекается с горизонтальной асимптотой $ y=1$. Для этого решим уравнение $ f(x)=1$, то есть $ \dfrac{x^2+x}{x^2-3x+2}=1.$ Его решением служит число $ x=\frac{1}{2}$. Отметим эту точку на оси $ Ox$. Теперь наш чертёж отмечает все особенности графика.     

Великий немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц родился в семье профессора нравственной философии Лейпцигского университета. Биографы утверждают, что отец рано разгадал гениальную натуру своего сына. Будто бы, когда совершался обряд крещения, малютка поднял глаза к потолку. В этом «событии» отец усмотрел «великую будущность» своего сына, которому написано при рождении смотреть вверх и быть впереди своего века.

Выпуклость функции