Примеры исследования функций и построения графиков


     Пример 7.40   Исследуем функцию $ f(x)=\dfrac{x^3}{x^2+1}$ и построим её график.
1). Поскольку знаменатель положителен при всех $ x$, область определения функции -- вся ось $ Ox$.
2). Функция $ f(x)$ -- нечётная, поскольку при смене знака $ x$ числитель меняет знак, а знаменатель остаётся без изменения, откуда $ f(-x)=-f(x)$. Следовательно, график функции симметричен относительно начала координат.
Периодической функция не является.
3). Поскольку область определения этой элементарной функции -- вся вещественная ось, вертикальных асимптот график не имеет.
4). Найдём наклонные асимптоты при $ x\to\pm\infty$ в виде $ y=kx+b$. Имеем:
$\displaystyle k=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}=
\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^2}{x^2+1}=
\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{1}{1+\frac{1}{x^2}}=\dfrac{1}{1+0}=1;$
$\displaystyle b=\lim_{x\to\pm\infty}[f(x)-kx]=
\lim_{x\to\pm\infty}[\dfrac{x^3...
...}=
\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x^2}}=\dfrac{0}{1+0}=0.$
Таким образом, асимптотой как при $ x\to-\infty$, так и при $ x\to+\infty$ служит прямая $ y=1x+0=x$.
5). Найдём точки пересечения с осями координат. Имеем: $ f(0)=0$, причём $ x=0$ -- единственное решение уравнения $ f(x)=0$. Значит, график $ y=f(x)$ пересекает сразу и ось $ Ox$, и ось $ Oy$ в начале координат.
Очевидно, что $ f(x)>0$ при $ x>0$ и $ f(x)<0$ при $ x<0$.
6). Найдём производную:
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{3x^2(x^2+1)-x^3\cdot2x}{(x^2+1)^2}=
\dfrac{x^4+3x^2}{(x^2+1)^2}=
\dfrac{x^2(x^2+3)}{(x^2+1)^2}.$
Очевидно, что $ f'(x)\geqslant 0$ при всех $ x\in\mathbb{R}$; единственная точка, в которой $ f'(x)=0$ -- это $ x=0$. Значит, функция $ f(x)$ возрастает на всей оси $ Ox$, а в стационарной точке $ x=0$ имеет горизонтальную касательную.
7). Найдём вторую производную:
$\displaystyle f''(x)=\dfrac{(4x^3+6x)(x^2+1)^2-(x^4+3x^2)\cdot2(x^2+1)\cdot2x}{(x^2+1)^4}=
\dfrac{2x(3-x^2)}{(x^2+1)^3}.$
Знаменатель этой дроби положителен при всех $ x$. Числитель имеет корни $ x=0$ и $ x=\pm\sqrt{3}$, при этом $ f''(x)>0$ на интервалах $ (-\infty;-\sqrt{3})$ и $ (0;\sqrt{3})$ -- на этих интервалах функция выпукла. На интервалах $ (-\sqrt{3};0)$ и $ (\sqrt{3};+\infty)$ выполняется обратное неравенство $ f''(x)<0$, здесь функция вогнута. Все три точки, в которых $ f''(x)=0$, то есть точки $ -\sqrt{3},\;0,\;\sqrt{3}$, являются точками перегиба.
8). Теперь мы можем построить график с учётом всех предыдущих пунктов исследования функции. График имеет такой вид:
Рис.7.47.График функции $ f(x)=\dfrac{x^3}{x^2+1}$

    
     

Великий немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц родился в семье профессора нравственной философии Лейпцигского университета. Биографы утверждают, что отец рано разгадал гениальную натуру своего сына. Будто бы, когда совершался обряд крещения, малютка поднял глаза к потолку. В этом «событии» отец усмотрел «великую будущность» своего сына, которому написано при рождении смотреть вверх и быть впереди своего века.

Выпуклость функции