Примеры исследования функций и построения графиков


        Пример 7.39   Построим график функции .
1). Функция $ g(x)$ -- многочлен, а у всех многочленов область определения -- вся вещественная ось: $ \mathcal{D}(g)=\mathbb{R}$.
2). Многочлены бывают чётными функциями, если содержат только чётные степени переменного $ x$, и нечётными функциями, если содержат только нечётные степени $ x$. Для функции $ g(x)$ это не так, значит, $ g(x)$ не является ни чётной, ни нечётной функцией.
Периодическими из всех многочленов бывают только постоянные, то есть не зависящие от $ x$; в нашем случае это не так, поэтому $ g(x)$ -- не периодическая функция.
3). Вертикальных асимптот график не имеет, поскольку область определения не имеет граничных точек. (У графиков многочленов вообще не бывает вертикальных асимптот.)
4). Поскольку многочлен имеет степень 3 (а не 1 или 0), то его график не имеет наклонных или горизонтальных асимптот.
5). Пересечение с осью $ Oy$ найдём, вычислив значение $ g(x)$ при $ x=0$: имеем $ {g(0)=2\cdot0^3-3\cdot0^2+0+5=5}$. Для нахождения пересечений графика с осью $ Ox$ следует решить уравнение $ 2x^3-3x^2+x+5=0$. Целых корней это уравнение не имеет. Вычисляя значения в некоторых целых точках, например,
$\displaystyle g(-2)=-25; g(-1)=-1; g(0)=5; g(1)=5; g(2)=11,$
мы начинаем подозревать, что уравнение имеет только один корень $ x_0$, лежащий на интервале $ (-1;0)$, причём ближе к точке $ -1$, чем к 0. (Действительно, если применить какой-либо из методов приближённого нахождения корней алгебраического уравнения, мы получим, что $ x_0\approx-0.919$. Эти методы мы изучим ниже, в главе 9. А пока нам достаточно того, что $ x_0\in(-1;0)$.) Заметим, что $ g(x)$ меняет знак с $ -$ на $ +$ при переходе через точку $ x_0$.
6). Производная данной функции равна $ g'(x)=6x^2-6x+1$. Найдём интервалы возрастания функции, решая неравенство $ 6x^2-6x+1>0$. Корни квадратного трёхчлена -- это $ \frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{6}\approx0.5\pm0.285$, значит, решением неравенства служит объединение интервалов $ (-\infty;\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6})\approx(-\infty;0.215)$ и $ (\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{6};+\infty)\approx(0.785;+\infty)$. На каждом из этих интервалов функция $ g(x)$ возрастает. Интервалы убывания задаются обратным неравенством $ g'(x)<0$, то есть $ 6x^2-6x+1<0$. Его решением служит интервал $ (\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6};\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{6})
\approx(0.215;0.785)$. На этом интервале функция убывает.
В точке $ x_1=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}\approx0.215$ возрастание функции сменяется убыванием, значит, $ x_1$ -- точка локального максимума. Значение функции в этой точке равно
$\displaystyle g(x_1)=\frac{2\sqrt{3}}{9}+5\approx5.38.$
В точке $ x_2=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{6}\approx0.785$ убывание функции сменяется возрастанием, значит, $ x_2$ -- точка локального минимума. Значение функции в этой точке равно
$\displaystyle g(x_2)=-\frac{2\sqrt{3}}{9}+4.5\approx4.12.$
Как мы видим, на участке убывания значения функции изменяются от $ 5.38$ до $ 4.12$ и остаются положительными. Это доказывает, что сама функция действительно имеет только один корень.
7). Вторая производная функции равна $ g''(x)=12x-6$. Для отыскания интервала выпуклости решим неравенство $ g''(x)>0$, то есть $ 12x-6>0$, откуда $ x>\frac{1}{2}$. Значит, функция выпукла на интервале $ (\frac{1}{2};+\infty)$. Обратное неравенство $ g''(x)<0$ даёт нам интервал вогнутости; очевидно, это $ (-\infty;\frac{1}{2})$. В точке $ \frac{1}{2}$ направление выпуклости меняется, следовательно, $ \frac{1}{2}$ -- это точка перегиба. Значение функции в этой точке равно $ g(\frac{1}{2})=5$.
8). С учётом предыдущих семи пунктов строим график функции $ g(x)$.
Рис.7.46.График функции $ 2x^3-3x^2+x+5$

     

Великий немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц родился в семье профессора нравственной философии Лейпцигского университета. Биографы утверждают, что отец рано разгадал гениальную натуру своего сына. Будто бы, когда совершался обряд крещения, малютка поднял глаза к потолку. В этом «событии» отец усмотрел «великую будущность» своего сына, которому написано при рождении смотреть вверх и быть впереди своего века.

Выпуклость функции