Пример 7.39 Построим график функции .1). Функция-- многочлен, а у всех многочленов область определения -- вся вещественная ось:
.
2). Многочлены бывают чётными функциями, если содержат только чётные степени переменного, и нечётными функциями, если содержат только нечётные степени
. Для функции
это не так, значит,
не является ни чётной, ни нечётной функцией.
Периодическими из всех многочленов бывают только постоянные, то есть не зависящие от; в нашем случае это не так, поэтому
-- не периодическая функция.
3). Вертикальных асимптот график не имеет, поскольку область определения не имеет граничных точек. (У графиков многочленов вообще не бывает вертикальных асимптот.)4). Поскольку многочлен имеет степень 3 (а не 1 или 0), то его график не имеет наклонных или горизонтальных асимптот.5). Пересечение с осьюнайдём, вычислив значение
при
: имеем
. Для нахождения пересечений графика с осью
следует решить уравнение
. Целых корней это уравнение не имеет. Вычисляя значения в некоторых целых точках, например,
мы начинаем подозревать, что уравнение имеет только один корень, лежащий на интервале
, причём ближе к точке
, чем к 0. (Действительно, если применить какой-либо из методов приближённого нахождения корней алгебраического уравнения, мы получим, что
. Эти методы мы изучим ниже, в главе 9. А пока нам достаточно того, что
.) Заметим, что
меняет знак с
на
при переходе через точку
.
6). Производная данной функции равна. Найдём интервалы возрастания функции, решая неравенство
. Корни квадратного трёхчлена -- это
, значит, решением неравенства служит объединение интервалов
и
. На каждом из этих интервалов функция
возрастает. Интервалы убывания задаются обратным неравенством
, то есть
. Его решением служит интервал
. На этом интервале функция убывает.
В точкевозрастание функции сменяется убыванием, значит,
-- точка локального максимума. Значение функции в этой точке равно
В точкеубывание функции сменяется возрастанием, значит,
-- точка локального минимума. Значение функции в этой точке равно
Как мы видим, на участке убывания значения функции изменяются отдо
и остаются положительными. Это доказывает, что сама функция действительно имеет только один корень.
7). Вторая производная функции равна. Для отыскания интервала выпуклости решим неравенство
, то есть
, откуда
. Значит, функция выпукла на интервале
. Обратное неравенство
даёт нам интервал вогнутости; очевидно, это
. В точке
направление выпуклости меняется, следовательно,
-- это точка перегиба. Значение функции в этой точке равно
.
8). С учётом предыдущих семи пунктов строим график функции.
Рис.7.46.График функции![]()
Великий немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц родился в семье профессора нравственной философии Лейпцигского университета. Биографы утверждают, что отец рано разгадал гениальную натуру своего сына. Будто бы, когда совершался обряд крещения, малютка поднял глаза к потолку. В этом «событии» отец усмотрел «великую будущность» своего сына, которому написано при рождении смотреть вверх и быть впереди своего века.