Общая схема исследования функции и построения её графика


  Пример 7.37   Для функции $ f(x)=(\frac{1}{x})^{\frac{1}{x}}$ считаем, что $ \mathcal{D}(f)=(0;+\infty)$, хотя правая часть имеет смысл также при всех целых отрицательных $ x$.     
        Замечание 7.14   При исследовании некоторых функций подробное исследование области определения мы вынуждены будем пропустить или ограничиться общими рассуждениями, ввиду сложности точного решения вопроса.
Например, область определения функции $ f(x)=\sqrt{2x^7-3x^5+x^4-x+2}$ задаётся как решение неравенства $ 2x^7-3x^5+x^4-x+2\geqslant 0$. Однако решить это неравенство "точно", то есть найти выражения через радикалы от известных чисел для точек, задающих левые и правые концы интервалов (или интервала?) области определения, по-видимому, невозможно. Можно лишь сказать, что решение будет заведомо содержать целиком луч вида $ (a;+\infty)$ при некотором $ a$; кроме того, непосредственная проверка показывает, что точки $ -1$ и 0, например, принадлежат $ \mathcal{D}(f)$, а точка $ -2$ -- нет. Более точно можно описать $ \mathcal{D}(f)$, найдя корни уравнения $ 2x^7-3x^5+x^4-x+2=0$ приближённо, с достаточно малой погрешностью, и исследовав знак функции $ 2x^7-3x^5+x^4-x+2$ между этими корнями.
Способы приближённого отыскания корней алгебраических уравнений мы обсудим ниже, в главе 9.     

2). Особые свойства функции. Не любая функция обладает такими свойствами, как чётность либо нечётность. Функция заведомо не является ни чётной, ни нечётной, если её область определения несимметрична относительно точки 0 на оси $ Ox$. Точно так же, у любой периодической функции область определения состоит либо из всей вещественной оси, либо из объединения периодически повторяющихся систем промежутков.

Так что если, например, при рассмотрении предыдущего пункта выяснилось, что область определения не обладает свойством симметричности либо периодичности, то заниматься исследованием соответствующих особых свойств функции нет нужды.

3). Вертикальные асимптоты. Если функция $ f(x)$ -- элементарная, то на всех интервалах области определения $ \mathcal{D}(f)$ функция $ f$ непрерывна. Значит, вертикальные асимптоты могут появиться только на границах интервалов, составляющих $ \mathcal{D}(f)$.

Однако не на каждой из границ этих интервалов непременно возникает вертикальная асимптота: например, функция $ f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}$ имеет область определения $ \mathcal{D}(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$, и единственной точкой границы $ \mathcal{D}(f)$ служит $ x=0$. Однако вертикальная прямая $ x=0$ не является вертикальной асимптотой функции, так как $ \lim\limits_{x\to0}f(x)=0$.

4). Наклонные и горизонтальные асимптоты. При их поиске, как и при поиске других асимптотических линий (не обязательно прямых) полезно выделить более просто, чем $ f(x)$, устроенную главную часть функции, то есть такую функцию $ f_1(x)$, что разность $ f(x)-f_1(x)$ -- бесконечно малая при $ x\to+\infty$ или $ x\to-\infty$. Тогда график главной части $ y=f_1(x)$ и есть искомая асимптотическая линия. Если ясно, что асимптотическая линия не имеет наклонной либо горизонтальной асимптоты, то её не имеет и исходный график $ y=f(x)$. Заметим, что все многочлены $ P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+a_{n-1}x+a_n$ (при $ a_0\ne0$ и $ n\geqslant 2$) не имеют асимптотических линий вида $ y=kx+b$ (докажите это!). Следовательно, искать в виде $ y=kx+b$ прямолинейные наклонные либо горизонтальные асимптоты у тех графиков, которые имеют асимптотические линии в виде графиков многочленов, в том числе у самих многочленов степени $ \geqslant 2$, -- дело бессмысленное: этих прямолинейных асимптот всё равно нет!

        Пример 7.38   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^2+1+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^4}.$ Эта функция имеет главную часть $ f_1(x)=x^2+1$, так как разность $ f(x)-f_1(x)=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^4}$, очевидно, стремится к 0 при $ x\to\pm\infty$. Поэтому парабола $ y=x^2+1$ -- это асимптотическая линия для графика $ y=f(x)$; следовательно, прямолинейных наклонных и горизонтальных асимптот график этой функции не имеет.     

5). Нахождение точки пересечения графика с осью $ Oy$ состоит в простом вычислении значения функции при $ x=0$. Нахождение же точек пересечения с осью $ Ox$ может привести к необходимости решить сложное алгебраическое уравнение, что, быть может, удастся сделать лишь приближённо. О приближённом нахождении корней уравнений см. ниже, в гл. 9. Отыскав корни функции $ f(x)$ и точки разрыва, мы можем определить знак функции на каждом из интервалов между этими точками. Это можно сделать либо вычислив значение функции в какой-нибудь из точек интервала, либо применив метод интервалов, знакомый из школьной программы.

6). Нахождение промежутков монотонности. Для этого находят производную $ f'(x)$ и решают неравенство $ f'(x)>0$. На промежутках, где это неравенство выполнено, функция $ f(x)$ возрастает. Там, где выполнено обратное неравенство $ f'(x)<0$, функция $ f(x)$ убывает. Если два ннтервала возрастания (или убывания) $ (a;b)$ и $ (b;c)$ примыкают друг к другу в точке $ b$ и функция $ f(x)$ непрерывна в этой точке $ b$, то $ f(x)$ возрастает на интервале $ (a;c)$.

Найдя интервалы монотонности, мы можем сразу определить точки локального экстремума (пользуясь теоремой 7.10 и не прибегая к теореме 7.11): там, где возрастание сменяется убыванием располагаются локальные максимумы, а там, где убывание сменяется возрастанием -- локальные минимумы.

7). Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости ведётся с помощью второй производной. Найдя $ f''(x)$, мы решаем неравенство $ f''(x)>0$. На каждом из интервалов решения функция будет выпуклой вниз. Решая обратное неравенство $ f''(x)<0$, мы находим интервалы, на которых функция выпукла вверх (то есть вогнута).

Заодно определяем точки перегиба как те точки, в которых функция меняет направление выпуклости (и непрерывна).

8). Нахождение точек пересечения графика с асимптотой. Этот пункт не носит столь уж обязательного характера, однако нахождение таких точек придаёт исследованию функции и построенному её графику законченность и полноту.

Заметим, что получающиеся в процессе исследования функции точки на осях координат и на графике полезно сразу же наносить на чертёж. Это помогает по ходу дела уяснять вид графика. При этом дальнейшие исследования функции имеют характер уточнений полученного ранее.

 

Великий немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц родился в семье профессора нравственной философии Лейпцигского университета. Биографы утверждают, что отец рано разгадал гениальную натуру своего сына. Будто бы, когда совершался обряд крещения, малютка поднял глаза к потолку. В этом «событии» отец усмотрел «великую будущность» своего сына, которому написано при рождении смотреть вверх и быть впереди своего века.

Выпуклость функции