Выпуклость функции Функции графики примеры

 
 Теорема 7.13   Пусть функция $ f(x)$ имеет на интервале $ (a;b)$ производную $ f'(x)$. Функция $ f(x)$ выпукла на $ (a;b)$ тогда и только тогда, когда график $ y=f(x)$ лежит (при $ x\in(a;b)$) не ниже любой касательной $ y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$, проведённой при любом $ x_0\in(a;b)$, то есть выполняется неравенство
$\displaystyle f(x)\geqslant f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$
при всех $ x,x_0\in(a;b)$.

Рис.7.39.График выпуклой функции идёт не ниже любой своей касательной

        Доказательство.     Применяя формулу конечных приращений, получаем:
$\displaystyle (f(x)-f(x_0))-f'(x_0)(x-x_0)=f'(c)(x-x_0)-f'(x_0)(x-x_0)=
(f'(c)-f'(x_0))(x-x_0),$
где $ c$ лежит между $ x$ и $ x_0$. Но по теореме 7.10 производная выпуклой функции не убывает, так что $ f'(c)-f'(x_0)\geqslant 0$ при $ x-x_0>0$ и $ f'(c)-f'(x_0)\leqslant 0$ при $ x-x_0<0$. В любом случае получаем, что произведение $ (f'(c)-f'(x_0))(x-x_0)$ неотрицательно, откуда $ f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)\geqslant 0$. Отсюда следует неравенство из утверждения теоремы.     
        Замечание 7.13   Очевидно, что для вогнутых функций верно аналогичное утверждение:
дифференцируемая функция вогнута на интервале $ (a;b)$ тогда и только тогда, когда её график идёт не выше любой касательной:
$\displaystyle f(x)\leqslant f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$
при всех $ x,x_0\in(a;b)$.     

Рис.7.40.График вогнутой функции идёт не выше любой своей касательной

        Определение 7.6   Точкой перегиба функции $ f(x)$ называется такая точка $ x_0$, которая разделяет два интервала $ (a;x_0)$ и $ (x_0;b)$, на одном из которых функция является выпуклой, а на другом -- вогнутой.     

Рис.7.41.Точка перегиба разделяет интервалы с разным направлением выпуклости

В случае, если вторая производная $ f''(x)$ непрерывна, в точке перегиба $ x_0$ непременно должно выполняться равенство $ f''(x_0)=0$, поскольку, согласно теореме 7.11, $ f''(x)$ должна менять знак при переходе через точку $ x_0$. Верно даже несколько более сильное утверждение:
        Теорема 7.14   Пусть $ x_0$ -- точка перегиба функции $ f(x)$, причём существует $ f''(x_0)$. Тогда $ f''(x_0)=0$.
        Доказательство.     Из существования $ f''(x_0)$ следует, что $ f'(x)$ существует при $ x$ из некоторого интервала $ (x_0-{\delta};x_0+{\delta})$, окружающего точку $ x_0$. По предположению, при достаточно малом $ {\delta}>0$, на интервалах $ (x_0-{\delta};x_0)$ и $ (x_0;x_0+{\delta})$ направление выпуклости функции разное; пусть для определённости $ f(x)$ выпукла на $ (x_0-{\delta};x_0)$ и вогнута на $ (x_0;x_0+{\delta})$. Тогда функция $ f'(x)$ не убывает на $ (x_0-{\delta};x_0)$ и не возрастает на $ (x_0;x_0+{\delta})$, согласно теореме 7.10 и замечанию 7.9. Значит, $ \dfrac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}\geqslant 0$ при $ x\in(x_0-{\delta};x_0)$ и $ \dfrac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}\leqslant 0$ при $ x\in(x_0;x_0+{\delta})$. Переходя в этих двух неравенствах к пределу при базе $ x\to x_0-$ и $ x\to x_0+$ соответственно и замечая, что оба предела равны $ f''(x_0)$, получаем, что одновременно $ f''(x_0)\geqslant 0$ и $ f''(x_0)\leqslant 0$. Значит, $ f''(x_0)=0$, что и требовалось доказать.     
Заметим однако, что не любая точка $ x_0$, такая что $ f''(x_0)=0$, обязана быть точкой перегиба: при переходе через такую точку функция $ f''(x)$ может и не сменить знак, тогда перегиба в точке $ x_0$ нет.
       
Великий немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц родился в семье профессора нравственной философии Лейпцигского университета. Биографы утверждают, что отец рано разгадал гениальную натуру своего сына. Будто бы, когда совершался обряд крещения, малютка поднял глаза к потолку. В этом «событии» отец усмотрел «великую будущность» своего сына, которому написано при рождении смотреть вверх и быть впереди своего века.