Выпуклость функции Функции графики примеры


  Пример 7.31   Рассмотрим функцию примера 7.24: $ f(x)=x^4-2x^2$. Её производная равна $ {f'(x)=4x^3-4x}$; вторая производная $ f''(x)=12x^2-4$. Чтобы найти интервалы выпуклости, решим неравенство $ f''(x)\geqslant 0$, то есть $ 12x^2-4\geqslant 0$. Решением является объединение лучей: $ (-\infty;-\dfrac{\sqrt{3}}{3}]\cup[\dfrac{\sqrt{3}}{3};+\infty)$. Значит, на интервалах $ (-\infty;-\dfrac{\sqrt{3}}{3})$ и $ (\dfrac{\sqrt{3}}{3};+\infty)$ функция $ f(x)$ выпукла.
Для нахождения интервала вогнутости нужно решить неравенство $ f''(x)\leqslant 0$, то есть $ 12x^2-4\leqslant 0$. Решением является отрезок $ [-\dfrac{\sqrt{3}}{3};\dfrac{\sqrt{3}}{3}]$. Значит, на интервале $ (-\dfrac{\sqrt{3}}{3};\dfrac{\sqrt{3}}{3})$ функция $ f(x)$ вогнута.     

Рис.7.36.Интервалы выпуклости и вогнутости функции $ f(x)=x^4-2x^2$

Выпуклые функции обладают следующим весьма важным свойством: они могут иметь не более одного локального минимума на интервале выпуклости. А именно, верна следующая теорема.
        Теорема 7.12   Пусть $ f(x)$ -- выпуклая на $ (a;b)$ функция и $ x_0\in(a;b)$ -- точка локального минимума функции $ f$. Тогда $ \min\limits_{x\in(a;b)}f(x)=f(x_0).$
        Замечание 7.10   Теорема не означает, что функция не может иметь много точек локального минимума, однако утверждает, что во всех таких точках выпуклая функция принимает одно и то же значение $ f_{\min}=\min\limits_{x\in(a;b)}f(x).$     
        Доказательство теоремы.     Пусть $ x_0$ и $ x_1$ -- две различные точки локального минимума функции $ f(x)$, причём $ x_0<x_1$ и $ f(x_0)>f(x_1)$ (случай $ f(x_0)<f(x_1)$ разбирается аналогично). Положим $ x_{{\alpha}}={\alpha}x_1+(1-{\alpha})x_0$ и рассмотрим линейную функцию $ \ell(x)$, на графике которой лежит хорда, соединяющая точки $ (x_0;f(x_0))$ и $ (x_1;f(x_1))$. Так как функция $ f(x)$ выпукла, то $ f(x_{{\alpha}})\leqslant \ell(x_{{\alpha}})$ при всех $ {\alpha}\in[0;1]$, то есть при всех $ x_{{\alpha}}\in[x_0;x_1]$. Это неравенство верно, в том числе, и при любом $ x=x_{{\alpha}}$ из некоторой правой окрестности точки $ x_0$, то есть при $ x\in(x_0;x_0+{\delta})\sbs[x_0;x_1]$, $ 0<{\delta}\leqslant x_1-x_0$. Тем самым получаем для таких $ x$:
$\displaystyle f(x)\leqslant \ell(x)<f(x_0)=\ell(x_0).$
Однако это противоречит тому, что $ x_0$ -- точка локального минимума (из того, что $ x_0$ -- точка локального минимума, следует, что при достаточно малом $ {\delta}>0$ при $ x\in(x_0;x_0+{\delta})$ имеет место неравенство $ f(x)\geqslant f(x_0)$).
Значит, предположение о том, что $ f(x_0)>f(x_1)$, не может быть верным. Точно так же доказывается, что неверно и предположение о том, что $ f(x_0)<f(x_1)$. Следовательно, $ f(x_0)=f(x_1)$, то есть во всех точках локального экстремума (если их не одна) функция $ f(x)$ принимает одно и то же значение.     
Тем самым, если о функции $ f(x)$ известно, что она выпукла, и мы нашли некоторую точку локального минимума $ x_0$, то значение в этой точке -- это минимальное значение функции на всём рассматриваемом интервале: $ f_{\min}=f(x_0)$. Если нас интересует лишь это минимальное значение, а не полный набор точек минимума, то мы можем других точек локального минимума не искать.
        Замечание 7.11   Свойство, аналогичное доказанной теореме, верно и для максимумов вогнутых функций:
если $ f$ -- вогнутая функция на интервале $ (a;b)$ и $ x_0,x_1\in(a;b)$ -- точки локального максимума, то
$\displaystyle f(x_0)=f(x_1)=\max_{x\in(a;b)}f(x)=f_{\max}.$
Для доказательства достаточно вспомнить, что $ g=-f$ -- выпуклая функция и что $ \min(-f)=-\max f$.     
        Замечание 7.12   Теорема 7.11 проясняет тот факт, что условие $ f''(x_0)>0$ достаточно для наличия локального минимума в стационарной точке $ x_0$ функции $ f$. Действительно, из условия $ f''(x)>0$ следует, что функция $ f(x)$ выпукла, то есть её график $ y=f(x)$ "провисает вниз" в окрестности точки $ x_0$, в которой график имеет горизонтальную касательную.
Рис.7.37.Выпуклость функции в окрестности точки минимума

Аналогично, график гладкой функции имеет выпуклость вверх в окрестности точки локального максимума. Поэтому неравенство $ f''(x_0)<0$ даёт достаточное условие локального максимума.
Рис.7.38.Вогнутость функции в окрестности точки максимума

    
Изучим теперь связь выпуклости и вогнутости функции $ f(x)$ с взаимным расположением графика функции и касательных, проведённых к этому графику.
       

Великий немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц родился в семье профессора нравственной философии Лейпцигского университета. Биографы утверждают, что отец рано разгадал гениальную натуру своего сына. Будто бы, когда совершался обряд крещения, малютка поднял глаза к потолку. В этом «событии» отец усмотрел «великую будущность» своего сына, которому написано при рождении смотреть вверх и быть впереди своего века.

Выпуклость функции