Выпуклость функции Функции графики примеры

  Пусть функция $ f(x)$ имеет на $ (a;b)$ производную $ f'(x)$. Функция $ f(x)$ выпукла на $ (a;b)$ тогда и только тогда, когда производная $ f'(x)$ не убывает на $ (a;b)$.
        Доказательство.     Пусть $ f(x)$ -- выпуклая функция. Возьмём точки $ a',b',x_1,x_2$ на интервале $ (a;b)$ так, чтобы они следовали в таком порядке: $ a<a'<x_1<x_2<b'<b$. По предыдущей теореме, функции $ t_{x_1}$ и $ t_{x_2}$ не убывают. Пользуясь также свойством (7.6), получаем цепочку:
$\displaystyle t_{a'}(x_1)=t_{x_1}(a')\leqslant t_{x_1}(x_2)=t_{x_2}(x_1)\leqslant t_{x_2}(b')=
t_{b'}(x_2).$
В итоге получили, что $ t_{a'}(x_1)=t_{b'}(x_2)$, или
$\displaystyle \dfrac{f(a')-f(x_1)}{a'-x_1}\leqslant \dfrac{f(b')-f(x_2)}{b'-x_2}.$
Перейдем в левой части к пределу при $ a'\to x_1-$, а затем в правой части при $ b'\to x_2+$. Так как, по предположению, производная в точках $ x_1$ и $ x_2$ существует, то односторонние пределы существуют и равны производным в соответствующих точках, то есть $ {f'(x_1)\leqslant f'(x_2)}$. Ввиду того, что точки $ x_1$ и $ {x_2>x_1}$ можно было выбирать произвольно, это означает, что $ f'(x)$ не убывает на $ {(a;b)}$.
Пусть теперь производная $ f'(x)$ -- неубывающая функция. Фиксируем точку $ {x^*\in(a;b)}$ и найдём производную функции $ t_{x^*}(x)=\dfrac{f(x)-f(x^*)}{x-x^*}$ при $ x\in(a;x^*)\cup(x^*;b)$. Она равна
$\displaystyle t'_{x^*}(x)=\dfrac{f'(x)(x-x^*)-(f(x)-f(x^*))}{(x-x^*)^2}.$
По формуле конечных приращений мы можем представить $ f(x)-f(x^*)$ в виде
$\displaystyle f(x)-f(x^*)=f'(c)(x-x^*),$
где $ c$ -- некоторая точка, лежащая между $ x$ и $ x^*$. Заметим, что при этом знак разности $ x-c$ -- тот же, что у разности $ x-x^*$. Получаем, что
$\displaystyle t'_{x^*}(x)=\dfrac{f'(x)-f'(c)}{x-x^*}.$
Так как $ f'$ -- неубывающая функция, то $ f'(x)-f'(c)\geqslant 0$ при $ x-c>0$ и, следовательно, при $ x-x^*>0$ и $ f'(x)-f'(c)\leqslant 0$ при $ x-c<0$ и, следовательно, при $ x-x^*<0$. В любом случае отношение неотрицательно, то есть $ t'_{x^*}(x)\geqslant 0$. По теореме 7.2 отсюда следует, что функция $ t_{x^*}(x)$ не убывает, а по теореме 7.9 -- что функция $ f(x)$ выпукла.     
  Разумеется, верно следующее утверждение, аналогичное доказанной теореме:
дифференцируемая функция $ f$ вогнута на интервале $ (a;b)$ тогда и только тогда, когда её производная $ f'(x)$ не возрастает.     
Если функция имеет во всех точках интервала вторую производную $ f''(x)$, то для исследования выпуклости можно воспользоваться следующим утверждением, которое вытекает из доказанной теоремы.
  Пусть на интервале $ (a;b)$ функция $ f(x)$ имеет вторую производную $ f''(x)$. Функция $ f$ выпукла на $ (a;b)$ тогда и только тогда, когда $ f''(x)\geqslant 0$ при всех $ x\in(a;b)$, и вогнута тогда и только тогда, когда $ f''(x)\leqslant 0$ при всех $ x\in(a;b)$.
        Доказательство.     Производная $ f'(x)$ не убывает на $ (a;b)$ в том и только том случае, когда $ f''(x)\geqslant 0$ при всех $ x\in(a;b)$, и не возрастает в на $ (a;b)$ в том и только том случае, когда $ f''(x)\leqslant 0$ при всех $ x\in(a;b)$. Поэтому утверждение теоремы сразу следует из теоремы 7.10 и замечания 7.9.     
Именно эту теорему чаще всего применяют для исследования выпуклости и вогнутости функции на заданном интервале, а также для нахождения интервалов выпуклости и интервалов вогнутости данной функции.
Рис.7.34.$ f''(x)\geqslant 0$ на интервалах выпуклости и $ f''(x)\leqslant 0$ на интервалах вогнутости

        Пример 7.30   Рассмотрим функцию $ f(x)=\vert x\vert^3$, то есть
$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x^3,&\mbox{ при }x\geqslant 0;\\
-x^3,&\mbox{ при }x<0.
\end{array}\right.$
Для этой функции
$\displaystyle f'(x)=\left\{\begin{array}{ll}
3x^2,&\mbox{ при }x\geqslant 0;\\
-3x^2,&\mbox{ при }x<0
\end{array}\right.$
(проверьте отдельно, что производная при $ x=0$ существует и равна 0) и
$\displaystyle f''(x)=\left\{\begin{array}{ll}
6x,&\mbox{ при }x\geqslant 0;\\
-6x,&\mbox{ при }x<0,
\end{array}\right.$
то есть $ f''(x)=6\vert x\vert$. (Также проверьте, что производная в точке 0 существует и равна 0.) Итак, $ f''(x)\geqslant 0$ при всех $ x\in\mathbb{R}$; отсюда следует, что функция $ f(x)$ выпукла на всей оси.     

Рис.7.35.Функция $ f(x)=\vert x\vert^3$ выпукла на всей оси

Великий немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц родился в семье профессора нравственной философии Лейпцигского университета. Биографы утверждают, что отец рано разгадал гениальную натуру своего сына. Будто бы, когда совершался обряд крещения, малютка поднял глаза к потолку. В этом «событии» отец усмотрел «великую будущность» своего сына, которому написано при рождении смотреть вверх и быть впереди своего века.

Выпуклость функции