Пусть функцияимеет на
производную
. Функция
выпукла на
тогда и только тогда, когда производная
не убывает на
.
Доказательство. Пусть-- выпуклая функция. Возьмём точки
на интервале
так, чтобы они следовали в таком порядке:
. По предыдущей теореме, функции
и
не убывают. Пользуясь также свойством (7.6), получаем цепочку:
В итоге получили, что, или
Перейдем в левой части к пределу при, а затем в правой части при
. Так как, по предположению, производная в точках
и
существует, то односторонние пределы существуют и равны производным в соответствующих точках, то есть
. Ввиду того, что точки
и
можно было выбирать произвольно, это означает, что
не убывает на
.
Пусть теперь производная-- неубывающая функция. Фиксируем точку
и найдём производную функции
при
. Она равна
По формуле конечных приращений мы можем представитьв виде
где-- некоторая точка, лежащая между
и
. Заметим, что при этом знак разности
-- тот же, что у разности
. Получаем, что
Так как-- неубывающая функция, то
при
и, следовательно, при
и
при
и, следовательно, при
. В любом случае отношение неотрицательно, то есть
. По теореме 7.2 отсюда следует, что функция
не убывает, а по теореме 7.9 -- что функция
выпукла.
Разумеется, верно следующее утверждение, аналогичное доказанной теореме:дифференцируемая функциявогнута на интервале
тогда и только тогда, когда её производная
не возрастает.
Если функция имеет во всех точках интервала вторую производную, то для исследования выпуклости можно воспользоваться следующим утверждением, которое вытекает из доказанной теоремы.
Пусть на интервалефункция
имеет вторую производную
. Функция
выпукла на
тогда и только тогда, когда
при всех
, и вогнута тогда и только тогда, когда
при всех
.
Доказательство. Производнаяне убывает на
в том и только том случае, когда
при всех
, и не возрастает в на
в том и только том случае, когда
при всех
. Поэтому утверждение теоремы сразу следует из теоремы 7.10 и замечания 7.9.
Именно эту теорему чаще всего применяют для исследования выпуклости и вогнутости функции на заданном интервале, а также для нахождения интервалов выпуклости и интервалов вогнутости данной функции.
Рис.7.34.на интервалах выпуклости и
на интервалах вогнутости
Пример 7.30 Рассмотрим функцию, то есть
Для этой функции
(проверьте отдельно, что производная присуществует и равна 0) и
то есть. (Также проверьте, что производная в точке 0 существует и равна 0.) Итак,
при всех
; отсюда следует, что функция
выпукла на всей оси.
Рис.7.35.Функциявыпукла на всей оси
Великий немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц родился в семье профессора нравственной философии Лейпцигского университета. Биографы утверждают, что отец рано разгадал гениальную натуру своего сына. Будто бы, когда совершался обряд крещения, малютка поднял глаза к потолку. В этом «событии» отец усмотрел «великую будущность» своего сына, которому написано при рождении смотреть вверх и быть впереди своего века.