Асимптоты графика функции

 Пример 7.9   Рассмотрим функцию $ f(x)=\sin x+e^{-x}$. Так как $ e^{-x}\to0$ при $ {x\to+\infty}$, то естественно рассматривать график $ y=\sin x$ как асимптотическую линию при $ {x\to+\infty}$ для графика исследуемой функции $ f(x)$.     

Рис.7.10.Асимптотическая линия $ y=\sin x$ для графика функции $ f(x)=\sin x+e^{-x}$ при $ x\to+\infty$


Вернёмся к наклонным асимптотам -- прямым линиям с уравнением $ y=kx+b$. Для их нахождения в тех случаях, когда значения $ k$ и $ b$ не очевидны, можно применять следующую теорему.
  Прямая $ y=kx+b$ служит наклонной асимптотой для графика $ y=f(x)$ при $ x\to+\infty$ (или при $ x\to-\infty$) в том и только том случае, когда

и

(соответственно, если
$\displaystyle k=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ и $\displaystyle b=\lim_{x\to-\infty}[f(x)-kx]).$
Таким образом, для нахождения наклонной (или горизонтальной, если получится $ {k=0}$) асимптоты достаточно найти два указанных предела $ k$ и, затем, $ b$. Прямая $ {y=kx+b}$ будет искомой асимптотой. Если же какой-либо из этих двух пределов не существует, то нет и соответствующей асимптоты.
        Доказательство теоремы.     Докажем теорему в случае $ x\to+\infty$; доказательство при $ x\to-\infty$ проводится совершенно аналогично.
Перепишем условие (7.1), задающее асимптоту, в виде
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}[f(x)-(kx+b)]=
\lim_{x\to+\infty}x[\dfrac{f(x)}{x}-k-\dfrac{b}{x}]=0.$
Так как первый множитель $ x\to+\infty$, то второй множитель, стоящий в квадратных скобках, должен быть бесконечно малым, то есть
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}[\dfrac{f(x)}{x}-k-\dfrac{b}{x}]=0.$
Но $ \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{b}{x}=0$ и $ \lim\limits_{x\to+\infty}k=k$, так что
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}-k=0,$
откуда следует равенство (7.2). Теперь число $ k$ уже известно.
Подставляя это число в формулу (7.1), находим, что
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}[f(x)-(kx+b)]=
\lim_{x\to+\infty}[f(x)-kx]-b=0,$
откуда следует равенство (7.3).     
        Пример 7.10   Найдём наклонные асимптоты графика $ y=\dfrac{2x^2-x+3}{x-1}$.
Попробуем отыскивать сразу оба предела, и при $ x\to+\infty$, и при $ x\to-\infty$.
$\displaystyle k=\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x^2-x+3}{x(x-1)}=
\lim_{x\to\infty}\dfrac{2-\frac{1}{x}+\frac{3}{x^2}}{1-\frac{1}{x}}=2;$
$\displaystyle b=\lim_{x\to\infty}[\dfrac{2x^2-x+3}{x-1}-2x]=
\lim_{x\to\infty}...
...fty}\dfrac{x+3}{x-1}=
\lim_{x\to\infty}\dfrac{1+\frac{3}{x}}{1-\frac{1}{x}}=1.$
Итак, и при $ x\to+\infty$, и при $ x\to-\infty$ имеем $ k=2$ и $ b=1$, так что обе наклонные асимптоты совпадают друг с другом и имеют уравнение $ y=2x+1$, то есть, фактически, асимптота только одна.     

Рис.7.11.График $ y=\dfrac{2x^2-x+3}{x-1}$ и его наклонная асимптота

        Замечание 7.2   Из определения асимптоты не следует, что если асимптоты при $ x\to-\infty$ и при $ x\to+\infty$ для одного и того же графика существуют, то они непременно совпадают. Это могут быть и различные прямые, как показывает следующий простой пример.     
        Пример 7.11   Рассмотрим график $ y=\mathop{\rm arctg}\nolimits x$. При $ x\to-\infty$ график приближается к горизонтальной асимптоте $ y=-\frac{\pi}{2}$, а при $ x\to+\infty$ -- к другой горизонтальной асимптоте $ y=\frac{\pi}{2}$.     

Рис.7.12.График арктангенса имеет две разных горизонтальных асимптоты

Различными могут оказаться и не обязательно горизонтальные асимптоты:
        Пример 7.12   Рассмотрим функцию $ f(x)=2\sqrt{x^2+x+1}-x$. Покажем, что обе её наклонные асимптоты существуют, но не совпадают друг с другом.
Сначала найдём асимптоту $ y=kx+b$ при $ x\to+\infty$. Согласно доказанной теореме, имеем:
$\displaystyle k=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2\sqrt{x^2+x+1}-x}{x}=
\lim_{x\to+\infty}(2\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-1)=2-1=1;$
\begin{multline*}
b=\lim_{x\to+\infty}[(2\sqrt{x^2+x+1}-x)-x]=
2\lim_{x\to+\in...
...}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+1}=
2\cdot\frac{1}{2}=1.
\end{multline*}
Таким образом, при $ x\to+\infty$ наклонной асимптотой служит прямая $ y=x+1$.
Теперь найдём асимптоту при $ x\to-\infty$. Имеем:
$\displaystyle k=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{2\sqrt{x^2+x+1}-x}{x}=
\lim_{x\to-\infty}(2\dfrac{\sqrt{x^2+x+1}}{x}-1).$
Поскольку $ x\to-\infty$, мы можем считать, что в допредельном выражении $ x<0$. В полученной дроби поделим числитель и знаменатель на положительное число $ (-x)$. Тогда под корнем нужно будет поделить на $ (-x)^2=x^2$, и получится:
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}(2\dfrac{\sqrt{x^2+x+1}}{x}-1)=
\lim_{x\to-\infty}(-2\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-1)=-2-1=-3.$
Вычисление $ b$ проведите сами в качестве упражнения. При этом получается $ b=-1$, так что наклонная асимптота при $ x\to-\infty$ имеет уравнение $ y=-3x-1$.     

Рис.7.13.График $ y=2\sqrt{x^2+x+1}-x$ и его две наклонных асимптоты

        Замечание 7.3   Если график $ y=f(x)$ имеет асимптоту $ y=kx+b$ (например, при $ x\to+\infty$) и существует предел производной:
$\displaystyle l=\lim_{x\to+\infty}f'(x),$
то $ k=l$. Иными словами, если угловой коэффициент касательной имеет предел, то этот предел равен угловому коэффициенту асимптоты17
.
Однако асимптота может существовать и в случае, когда производная $ f'(x)$ не имеет никакого предела при $ x\to+\infty$. Дело в том, что значения $ f(x)$ могут совершать мелкие, но частые колебания относительно ординаты асимптоты, так что значения производной могут при этом испытывать незатухающие колебания. Проиллюстрируем эту возможность следующим примером.     
        Пример 7.13   Рассмотрим функцию $ f(x)=\dfrac{1}{x}\sin x^2+x$. Очевидно, что прямая $ y=x$ -- это асимптота графика $ y=f(x)$ при $ x\to+\infty$, так как первое слагаемое имеет предел, равный 0, при $ x\to+\infty$. Однако вычисление производной даёт
$\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{1}{x^2}\sin x^2+2\sin x^2,$
а эта функция при росте $ x$ совершает колебания, причём при больших $ x$ второе слагаемое становится пренебрежимо малым, и значения $ f'(x)$ колеблются примерно между $ -1$ и 3. Следовательно, производная не имеет предела при $ x\to+\infty$.
Если же рассмотреть функцию $ f(x)=\dfrac{1}{x}\sin x^3+x$, то её производная оказывается даже неограниченной на любом луче вида

Великий немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц родился в семье профессора нравственной философии Лейпцигского университета. Биографы утверждают, что отец рано разгадал гениальную натуру своего сына. Будто бы, когда совершался обряд крещения, малютка поднял глаза к потолку. В этом «событии» отец усмотрел «великую будущность» своего сына, которому написано при рождении смотреть вверх и быть впереди своего века.

Выпуклость функции