Обратная функция Примеры и упражнения Непрерывность функции свойства пределов матрица Многочлен Тейлора Производная Дифференциал Производные высших порядков Теорема Ферма Правило Лопиталя Примеры Асимптоты графика Экстремум функции

Кольца Алгебраические структуры

Пример 16.5 Пусть $\mathcal{K}$ -- множество, содержащее элементов. Чтобы не вводить дополнительные обозначения, будем считать, что эти элементы являются числами 0, 1, 2,..., .
Обозначим ${\rm mod}\,(k,n)$ , при $k\geqslant 0$ , остаток от деления числа на число . Операцию сложения на множестве $\mathcal{K}$ определим следующим образом: для любых , из $\mathcal{K}$
$\displaystyle a+b={\rm mod}\,(a+b,n),$
где в левой части стоит сложение на множестве $\mathcal{K}$ , а в правой части под знаком $''{\rm mod}\,''$ стоит обычное сложение чисел.
Если взять , то по новому правилу сложения получим: , (число 5 делится на 5, остаток равен 0), (число 8 при делении на 5 дает в остатке 3).
Операцию умножения на множестве $\mathcal{K}$ определим аналогично:
$\displaystyle a\cdot b={\rm mod}\,(ab,n),$
[an error occurred while processing this directive]
где в левой части стоит умножение на множестве $\mathcal{K}$ , а в правой части, под знаком $''{\rm mod}\,''$ стоит обычное произведение чисел.
Если, как и раньше, взять , то по новому правилу умножения получим: ${2\cdot 2=4}$ , ${2\cdot 3=1}$ (число 6 делится на 5 с остатком 1), ${4\cdot 3=2}$ (число 12 делится на 5 с остатком 2).
Можно показать, что множество $\mathcal{K}$ с введенными таким образом операциями является коммутативным кольцом. Обозначается оно обычно $\mathbb{Z}_n$ .
Если не является простым числом, то в кольце $\mathbb{Z}_n$ есть делители нуля. Например, в $\mathbb{Z}_6$ выполнено ${3\cdot4=0}$ , так как число 12 делится на 6.
Если в примере 16.1, указанную там операцию назвать сложением и обозначить знаком "+", а умножение определить так:
$\displaystyle aa=a,\quad ab=ba=a,\quad bb=b,$
то получим кольцо $\mathbb{Z}_2$ . Элемент соответствует нулю, а элемент соответствует единице.
Исходя из определения кольца, можно доказать, что в нем выполняются привычные свойства умножения и сложения, то есть
$\displaystyle a\cdot 0=0,\quad a(b-c)=ab-ac,\quad a(-b)=-ab$
и т. п.

По описанию современников, Лейбниц был худощавым, среднего роста мужчиной. Он всегда носил черный парик. Его бледное от природы лицо, оттененное черными волосами парика, казалось еще бледнее. На первый взгляд он производил впечатление довольно невзрачного человека. Однажды его маловнушительная внешность послужила поводом к следующему недоразумению.

Выпуклость функции