Сравнение бесконечно больших величин

 Пример 5.7   При $ {x\to+\infty}$ величины $ {f_1(x)=\sqrt{x}}$, $ {f_2(x)=x}$ , $ {f_3(x)=x^3}$, $ {f_4(x)=x^3+\sin x}$, $ {f_5(x)=3x^3+x^2+1}$, $ {f_6(x)=x^4+1}$ -- бесконечно большие. При этом $ {f_4(x)\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{}}f_3(x)}$, $ {f_5(x)\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{}}f_3(x)}$, $ {f_1(x)\mathrel{\mathop{\prec}\limits_{}}f_2(x)}$, $ {f_2(x)\mathrel{\mathop{\prec}\limits_{}}f_3(x)}$, $ {f_4(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{}}f_3(x)}$, $ f_1(x)$ имеет порядок $ \frac{1}{2}$ относительно $ f_2(x)$, $ f_3(x)$ имеет порядок 3 относительно $ f_2(x)$ и порядок 6 относительно $ f_1(x)$, $ f_6(x)$ имеет порядок 4 относительно $ f_2(x)$ и порядок $ \frac{4}{3}$ относительно $ f_3(x)$.
В качестве простого упражнения докажите упомянутые соотношения; легко увидеть между функциями $ f_i(x)$, $ i=1,\dots,6$ также много других соотношений.     
        Пример 5.8   При $ x\to+\infty$ рассмотрим функции $ f(x)=a^x$ ($ a>1$) и $ g(x)=x^b$ ($ b>0$). Покажем, что при всех таких $ a$ и $ b$ имеет место соотношение
$\displaystyle x^b\mathrel{\mathop{\prec}\limits_{x\to+\infty}}a^x,$
то есть любая степень $ g(x)=x^b$ имеет меньший порядок роста при $ x\to+\infty$, чем растущая экспонента $ f(x)=a^x$.
Для этого рассмотрим предел $ \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^b}{a^x}$. К этому пределу можно применить правило Лопиталя:
$\displaystyle \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^b}{a^x}=
\lim\limits_{x\to+\in...
...-1}}{a^x\ln a}=
\dfrac{b}{\ln a}\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^{b-1}}{a^x}.$
Если при этом $ b-1\leqslant 0$, то последний предел берётся от бесконечно малой и равен 0; если же $ b>1$, то правило Лопиталя можно применить ещё раз и, быть может, неоднократно. В конечном счёте получим
$\displaystyle \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^b}{a^x}=
\dfrac{b}{\ln a}\cdot...
...s\cdot\dfrac{b-k+1}{\ln a}\cdot
\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^{b-k}}{a^x},$
где $ k=\lceil b\rceil$ (напомним, что через $ \lceil b\rceil$ обозначается ближайшее целое число, не меньшее $ b$). Поскольку $ k\geqslant b$, в числителе дроби стоит невозрастающая функция, а знаменатель стремится к $ +\infty$, так что предел равен 0, что и требовалось получить.     
        Упражнение 5.1   Докажите, что функция $ f(x)=e^{x^2}$ имеет при $ x\to+\infty$ больший порядок роста, чем $ e^{ax}$, при любом $ a>0$, и, тем более, чем любой многочлен $ {P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+a_{n-1}x+a_n.}$     
        Пример 5.9   При $ x\to+\infty$ рассмотрим функции $ f(x)=x^{{\varepsilon}}$ ( $ {\varepsilon}>0$) и $ g(x)=\log_ax$ ($ a>1$). Покажем, что при всех таких $ {\varepsilon}$ и $ a$ имеет место соотношение
$\displaystyle \log_ax\mathrel{\mathop{\prec}\limits_{x\to+\infty}}x^{{\varepsilon}},$
то есть логарифм имеет меньший порядок роста при $ x\to+\infty$, чем любая положительная степень $ x^{{\varepsilon}}$.
Для доказательства вычислим предел $ \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\log_ax}{x^{{\varepsilon}}}.$ Поскольку это предел отношения двух бесконечно больших, можно применить правило Лопиталя:
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{\log_ax}{x^{{\varepsilon}}}=
\lim_{x\to...
...
\dfrac{1}{{\varepsilon}\ln a}\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x^{{\varepsilon}}}=0.$
    
        Упражнение 5.2   Докажите, что $ x^{{\varepsilon}}$ при любом, как угодно малом $ {\varepsilon}>0$ имеет больший порядок роста при $ x\to+\infty$, чем любая, сколь угодно большая степень логарифма $ (\log_ax)^N$, ($ a>1$, $ N>0$).     
        Упражнение 5.3   Докажите, что при $ x\to0+$ степенные функции $ x^{-a}$, $ a>0$, имеют тем больший порядок роста, чем больше значение $ a$.     
        Упражнение 5.4   Докажите, что $ x^{-{\varepsilon}}$ при любом, как угодно малом $ {\varepsilon}>0$ имеет больший порядок роста при $ x\to0+$, чем любая, сколь угодно большая степень логарифма $ (\log_ax)^N$, ($ a>1$, $ N>0$).     
        Упражнение 5.5   Выясните, какая из функций имеет больший порядок роста при $ x\to+\infty$:
а) $ e^{x^2}$ или $ x^x$?
б) $ e^{x^2}$ или $ x^{x^x}$?     
      

По описанию современников, Лейбниц был худощавым, среднего роста мужчиной. Он всегда носил черный парик. Его бледное от природы лицо, оттененное черными волосами парика, казалось еще бледнее. На первый взгляд он производил впечатление довольно невзрачного человека. Однажды его маловнушительная внешность послужила поводом к следующему недоразумению.

Выпуклость функции