Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса) Примеры

Пример 15.5 Найдите фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы линейных уравнений:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_1+x_2-x_3+2x_4-x_5=0,\\ 2x_1-x_2-x_3-x_4... ... -5x_1+7x_2+x_3+10x_4-11x_5=0,\\ -x_1+5x_2-x_3+8x_4-7x_5=0.\end{array}\right.$

Решение. Составляем расширенную матрицу системы:

$\displaystyle A^*=\left(\begin{array}{rrrrrr} 1&1&-1&2&-1&0\\ 2&-1&-1&-1&2&0\\ -5&7&1&10&-11&0\\ -1&5&-1&8&-7&0\end{array}\right).$

Умножим первую строку последовательно на

, 5 и 1 и прибавим соответственно ко второй, третьей и четвертой строкам. Получим матрицу

$\displaystyle A^*_1=\left(\begin{array}{rrrrrr} 1&1&-1&2&-1&0\\ 0&-3&1&-5&4&0\\ 0&12&-4&20&-16&0\\ 0&6&-2&10&-8&0\end{array}\right).$

Вторую строку умножим последовательно на числа 4 и 2 и прибавим соответственно к третьей и четвертой строкам. Получим матрицу

$\displaystyle A^*_2=\left(\begin{array}{rrrrrr} 1&1&-1&2&-1&0\\ 0&-3&1&-5&4&0\\ 0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0\end{array}\right).$

Прямой ход метода Гаусса закончен. У полученной матрицы легко определить ранг, ее базисный минор $\left\vert\begin{array}{rr}1&1\\ 0&-3\end{array}\right\vert$ . Отсюда следует, что ${{\rm Rg}A={\rm Rg}A^*_2=2}$ . По теореме 15.3 число решений в фундаментальной системе равно разности между числом неизвестных и рангом матрицы, в нашем случае фундаментальная система состоит из трех решений.

Переходим к системе уравнений

$\displaystyle \left\{\begin{array}{r@{\;=\;}l}x_1+x_2-x_3+2x_4-x_5&0,\\ -3x_2+x_3-5x_4+4x_5&0.\end{array}\right.$

Неизвестные

оставляем в левой части, остальные переносим в правую часть:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{r@{\;=\;}l}x_1+x_2&x_3-2x_4+x_5,\\ -3x_2&-x_3+5x_4-4x_5.\end{array}\right.$

Положим ${x_3=1}$ , ${x_4=x_5=0}$ . Получим ${x_2=\frac13}$ , ${x_1=\frac23}$ . Первое решение из фундаментальной системы: ${x^{(1)}=\left(\begin{array}{r}\vphantom{\dfrac11}\frac23\\ \vphantom{\dfrac11}\frac13\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right)}$ .

Положим ${x_3=x_5=0}$ , ${x_4=1}$ . Получим ${x_2=-\frac53}$ , ${x_1=-\frac13}$ . Второе решение из фундаментальной системы решений: ${x^{(2)}=\left(\begin{array}{r}\vphantom{\dfrac11}-\frac13\\ \vphantom{\dfrac11}-\frac53\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right)}$ .

Положим ${x_3=x_4=0}$ , ${x_5=1}$ . Получим ${x_2=\frac43}$ , ${x_1=-\frac13}$ . Третье решение из фундаментальной системы решений: ${x^{(3)}=\left(\begin{array}{r}\vphantom{\dfrac11}-\frac13\\ \vphantom{\dfrac11}\frac43\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)}$ . Фундаментальная система решений найдена. Общее решение имеет вид

$\displaystyle x=C_1x^{(1)}+C_2x^{(2)}+C_3x^{(3)}.$

Ответ: Фундаментальная система решений:
${x^{(1)}=\left(\begin{array}{r}\vphantom{\dfrac11}\frac23\\ \vphantom{\dfrac11}\frac13\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right)}$ , ${x^{(2)}=\left(\begin{array}{r}\vphantom{\dfrac11}-\frac13\\ \vphantom{\dfrac11}-\frac53\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right)}$ , ${x^{(3)}=\left(\begin{array}{r}\vphantom{\dfrac11}-\frac13\\ \vphantom{\dfrac11}\frac43\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)}$ , общее решение: ${\left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ x_5\end{array}\right)=C_1 \lef... ...frac11}-\frac13\\ \vphantom {\dfrac11}\frac43\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)}$ .

Замечание 15.7 Если решения, составляющие фундаментальную систему, умножить на любые ненулевые числа, то вновь полученные решения снова будут образовывать фундаментальную систему. Поэтому в предыдущем примере фундаментальную систему образуют и такие решения:
$\hat x^{(1)}=\left(\begin{array}{r}2\\ 1\\ 3\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ , $\hat x^{(2)}=\left(\begin{array}{r}-1\\ -5\\ 0\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ , $\hat x^{(3)}=\left(\begin{array}{r}-1\\ 4\\ 0\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ . Общее решение можно записать так: $\left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ x_5\end{array}\right)= C_1\left... ...d{array}\right)+C_3 \left(\begin{array}{r}-1\\ 4\\ 0\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ .