Курс лекций Правило Лопиталя


На основе теоремы Коши мы выведем правило, которое даст нам мощный способ вычисления пределов отношений двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин. Сформулируем его сначала для отношения бесконечно малых.

        Теорема 5.5 (Правило Лопиталя)   Пусть функции $ f(x)$ и $ g(x)$ непрерывны в некоторой окрестности $ E$ точки $ x_0$ и $ f(x_0)=g(x_0)=0$, то есть $ f(x)\to0$ и $ g(x)\to0$ при $ x\to x_0$. Предположим, что при $ x\in E,\;x\ne x_0$ функции $ f(x)$ и $ g(x)$ имеют производные $ f'(x)$ и $ g'(x)$, причём существует предел отношения этих производных:
$\displaystyle \lim_{x\to x_0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=L.$
Тогда предел отношения самих функций $ f(x)$ и $ g(x)$ тоже существует и равен тому же числу $ L$:
$\displaystyle \lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=L.$

        Доказательство.     Заметим, что из условия $ \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=L$ следует, что оба односторонних предела также равны $ L$:

$\displaystyle \lim_{x\to x_0+}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=L$ и $\displaystyle \lim_{x\to x_0-}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=L.$

Пусть $ x_1\in E$, $ x_1>x_0$. По теореме Коши, применённой к отрезку $ [x_0;x_1]$, получим тогда, с учётом того, что $ f(x_0)=0,\; g(x_0)=0$,

$\displaystyle \dfrac{f(x_1)}{g(x_1)}=\dfrac{f(x_1)-f(x_0)}{g(x_1)-g(x_0)}=
\dfrac{f'(x^*)}{g'(x^*)},$
[an error occurred while processing this directive]

где $ x^*\in(x_0;x_1)$. Перейдём теперь в этом равенстве к пределу при $ x_1\to x_0+$:

$\displaystyle \lim_{x_1\to x_0+}\dfrac{f(x_1)}{g(x_1)}=
\lim_{x^*\to x_0+}\dfrac{f'(x^*)}{g'(x^*)}=L,$

так как, очевидно, при $ x_1\to x_0+$ имеем также $ x^*\to x_0+$. Теперь возьмём точку $ {x_2\in E}$, $ {x_2<x_0}$ и применим теорему Коши к отрезку $ [x_2;x_0]$. Получим

$\displaystyle \dfrac{f(x_2)}{g(x_2)}=\dfrac{f(x_0)-f(x_2)}{g(x_0)-g(x_2)}=
\dfrac{f'(x^{**})}{g'(x^{**})},$

где $ x^{**}\in(x_2;x_0)$. Переходя к пределу при $ x_2\to x_0-$ , получаем

$\displaystyle \lim_{x_2\to x_0-}\dfrac{f(x_2)}{g(x_2)}=
\lim_{x^{**}\to x_0-}\dfrac{f'(x^{**})}{g'(x^{**})}=L,$

так как при $ x_2\to x_0-$ имеем $ x^{**}\to x_0-$.

Итак, оба односторонних предела отношения $ \dfrac{f(x)}{g(x)}$ равны $ L$. На основании теоремы о связи односторонних пределов с двусторонним получаем, что

$\displaystyle \lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=L.$

    

По окончании морского училища А. Н. Крылова зачислили на службу в компасную мастерскую Географического управления, руководимую видным моряком и ученым И. П. Колонгом создателем теории о девиации компаса. К этому периоду относится первая научная работа А. Н. Крылова о компасах. «Работая под руководством Колонга в компасной мастерской, - говорил А. Н. Крылов, - я все-таки отлично понимал, что не корабль для компаса, а компас для корабля

Выпуклость функции