Четыре теоремы о дифференцируемых функциях


  Пример 5.1   Функция $ f(x)=x^2$ имеет на отрезке $ [-1;1]$ точку минимума $ x_0=0$. Производная функции существует при всех $ x$: $ f'(x)=2x$. В точке минимума производная, действительно, оказывается равной 0: $ f'(x_0)=f'(0)=2\cdot0=0$, так что утверждение теоремы Ферма выполнено.     

Рис.5.2.График $ y=x^2$

        Пример 5.2   Функция $ f(x)=\vert x\vert$ имеет на отрезке $ [-1;1]$ точку минимума $ x_0=0$. Производная функции при $ x=0$ не существует. (Производная существует при всех $ x\ne0$, она равна 1 при $ x>0$ и $ -1$ при $ x<0$.) Итак, в точке минимума этой функции производная не существует, и утверждение теоремы Ферма снова выполнено.      

Рис.5.3.График $ y=\vert x\vert$

Далее мы будем предполагать, что функция $ f(x)$, заданная на отрезке $ [a;b]$, удовлетворяет следующим условиям: она непрерывна на отрезке $ [a;b]$ и дифференцируема на интервале $ (a;b)$; существование односторонних производных в точках $ a$ и $ b$, вообще говоря, не предполагается. Непрерывность во всех внутренних точках отрезка, конечно, следует из предположенной дифференцируемости, а вот непрерывность в точках $ a$ (непрерывность справа) и $ b$ (непрерывность слева) из дифференцируемости в точках интервала не следует.

    

По окончании морского училища А. Н. Крылова зачислили на службу в компасную мастерскую Географического управления, руководимую видным моряком и ученым И. П. Колонгом создателем теории о девиации компаса. К этому периоду относится первая научная работа А. Н. Крылова о компасах. «Работая под руководством Колонга в компасной мастерской, - говорил А. Н. Крылов, - я все-таки отлично понимал, что не корабль для компаса, а компас для корабля

Выпуклость функции