Производные высших порядков


Если функция $ f(x)$ дифференцируема при всех $ x\in(a;b)$, то мы можем рассмотреть функцию $ f':(a;b)\to\mathbb{R}$, сопоставляющую каждой точке $ x$ значение производной $ f'(x)$. Эта функция $ f'$ называется производной функции $ f$, или первой производной от $ f$. (Иногда саму исходную функцию $ f$ называют нулевой производной и обозначают тогда $ f^{(0)}$.) Функция $ g_1(x)=f'(x)$, в свою очередь, может иметь производную во всех (или некоторых) точках $ x$ интервала $ (a;b)$, которую мы обозначим $ g_1'(x)=f''(x)$ и назовём второй производной функции $ f(x)$. Если предположить, что вторая производная $ g_2(x)=f''(x)$ существует во всех точках $ x\in(a;b)$, то она может также иметь производную $ g_2'(x)=f'''(x)$, называемую третьей производной функции $ f(x)$, и т. д. Вообще, $ n$-й производной функции $ f(x)$ называется производная от предыдущей, $ (n-1)$-й производной $ g_{n-1}(x)=f^{(n-1)}(x)$:

$\displaystyle f^{(n)}(x)=g'_{n-1}(x)=(f^{(n-1)}(x))',$

если эта производная существует. $ n$-я производная называется также производной $ n$-го порядка, а её номер $ n$ называется порядком производной.

При $ n=1;2;3$ первую, вторую и третью производные принято обозначать штрихами: $ f'(x),f''(x),f'''(x)$ или $ y',y'',y'''$; при прочих $ n$ -- числом в скобках в верхнем индексе: $ f^{(4)}(x),f^{(5)}(x),\dots$ или $ y^{(4)},y^{(5)},\dots$.

Физический смысл производной второго порядка проясняется из того, что если первая производная $ f'(x)$ задаёт мгновенную скорость изменения значений $ f(x)$ в момент времени $ x$, то вторая производная, то есть производная от $ f'(x)$, задаёт мгновенную скорость изменения значений мгновенной скорости, то есть ускорение значений $ f(x)$. Следовательно, третья производная -- это скорость изменения ускорения (или, что то же самое, ускорение изменения скорости, поскольку, как очевидно следует из определения, $ (f''(x))'=(f'(x))''$).

Геометрический смысл второй производной связан с понятиями выпуклости и кривизны графика функции, и мы обсудим его ниже.

    

Роль академика А. Н. Крылова в развитии отечественной науки и техники трудно переоценить. Он был крупнейшим математиком, физиком и инженером корабельного дела. Его труды являются блестящим образцом соединения высоких математических теорий с вопросами современной научно-теоретической практики. Научные расчеты А. Н. Крылова в вопросах кораблестроения под названием «методов Крылова» пользуются мировым признанием.

Выпуклость функции