Параллельный перенос системы координат Кривые и поверхности второго порядка

 

 Пример 13.2   Нарисуйте поверхность $ 4x^2-y^2+z^2+8x-4y-2z=3$ .
Решение. Выделим полные квадраты по переменным $ x$ , $ y$ и $ z$ (см. пример 12.1):
[an error occurred while processing this directive]
$\displaystyle 4(x^2+2x+1)-4-(y^2+4y+4)+4+(z^2-2z+1)-1=3.$
Отсюда
$\displaystyle 4(x+1)^2-(y+2)^2+(z-1)^2=4.$
Разделим обе части на 4:
$\displaystyle \frac{(x+1)^2}{1^2}-\frac{(y+2)^2}{2^2}+\frac{(z-1)^2}{2^2}=1.$
Введем новую систему координат с началом в точке $ O_1(-1;-2;1)$ , получающуюся из старой параллельным переносом. По предложению 13.1 получим, что в новой системе поверхность задается уравнением
$\displaystyle \frac{\tilde x^2}{1^2}-\frac{\tilde y^2}{2^2}+\frac{\tilde z^2}{2^2}=1.$
Данное уравнение отличается от канонического уравнения однополостного гиперболоида тем, что поменялись ролями оси ординат ( $ O_1\tilde y$ ) и аппликат ($ O_1\tilde z$ ). Не переобозначая осей, произведем построение поверхности с помощью сечений. В сечении плоскостью $ \tilde xO_1\tilde z$ получаем эллипс с уравнением
$\displaystyle \frac{\tilde x^2}{1^2}+\frac{\tilde z^2}{2^2}=1.$
Его полуоси равны 1 и 2 и лежат соответственно на осях $ O_1\tilde x$ и $ O_1\tilde y$ . В сечении плоскостью $ \tilde xO_1\tilde y$ получаем гиперболу с уравнением
$\displaystyle \frac{\tilde x^2}{1^2}-\frac{\tilde y^2}{2^2}=1.$
Ее мнимая ось лежит на оси $ O_1\tilde y$ , а действительная ось лежит на оси $ O_1\tilde x$ , полуоси соответственно равны 2 и 1. В сечении плоскостью $ \tilde yO_1\tilde z$ получаем равностороннюю гиперболу с уравнением
$\displaystyle \frac{\tilde z^2}{2^2}-\frac{\tilde y^2}{2^2}=1.$
Ее мнимая ось лежит на оси $ O_1\tilde y$ , а действительная ось лежит на оси $ O_1\tilde z$ , обе полуоси равны 2. Для большей наглядности нарисуем еще два сечения плоскостями параллельными плоскости $ \tilde xO_1\tilde z$ . В сечениях получим эллипсы, подобные эллипсу в плоскости $ \tilde xO_1\tilde z$ . По рассмотренным сечениям можно представить себе форму гиперболоида и его расположение в пространстве (рис. 13.33). Объемное изображение приведено на рис. 13.34.


Рис.13.33.Изображение поверхности с помощью сечений




Рис.13.34.Объемное изображение поверхности

 

       

Алексей Николаевич Крылов родился в семье артиллериста, для своего времени довольно образованного человека. «Когда мне минуло 5 лет,— вспоминает А. Н. Крылов,— то, к ужасу моих молодых тетушек и матери, отец подарил мне, по его заказу за 75 копеек сделанный, настоящий маленький топор, сталью наваренный, остро отточенный, который и стал моей единственной игрушкой

Выпуклость функции