Параллельный перенос системы координат

 

Пусть на плоскости заданы две декартовы прямоугольные системы координат: $ xOy$ ("старая") и $ \tilde xO_1\tilde y$ ("новая"), причем как оси абсцисс, так и оси ординат обеих систем параллельны и одинаково направлены (рис. 12.19)




Рис.12.19.Параллельный перенос системы координат

[an error occurred while processing this directive]

В этом случае говорят, что одна система координат получается из другой "параллельным переносом".

Пусть начало $ O_1$ "новой" системы координат имеет в "старой" системе координат координаты $ (x_1;y_1)$ , и пусть $ M$  -- некоторая точка плоскости. Обозначим координаты точки $ M$ в "старой" системе координат $ (x_0;y_0)$ , а в "новой" -- $ (\tilde x_0;\tilde y_0)$ . Из рис. 12.19 ясно, что $ {x_0=x_1+\tilde x_0}$ , $ {y_0=y_1+\tilde y_0}$ . Откуда $ {\tilde x_0=x_0-x_1}$ , $ {\tilde y_0=y_0-y_1}$ . Так как точка $ M$ взята произвольно, то индекс 0 в записи ее координат, как "старых", так и "новых", можно убрать. Получаем связь между "старыми" и "новыми" координатами точки при параллельном переносе осей координат:

$\displaystyle \tilde x=x-x_1,\quad\tilde y=y-y_1.$(12.11)

Выясним теперь, как связаны друг с другом уравнения одной и той же кривой в "старых" и "новых" координатах.

        Предложение 12.6   Пусть некоторая кривая задана уравнением $ {F(x,y)=0}$ . Тогда в системе координат $ \tilde xO_1\tilde y$ , полученной параллельным переносом, с началом в точке $ O_1(x_1;y_1)$ уравнение кривой будет иметь вид $ {F(\tilde x+x_1;\tilde y+y_1)=0}$ .     

Однако, для практического использования это предложение удобнее сформулировать немного подругому.

        Предложение 12.7   Пусть некоторая кривая задана уравнением $ {F(x-x_1;y-y_1)=0}$ . Тогда в системе координат $ \tilde xO_1\tilde y$ , полученной параллельным переносом, с началом в точке $ O_1(x_1;y_1)$ уравнение кривой будет иметь вид $ {F(\tilde x;\tilde y)=0}$ .     

Доказательство обоих предложений очевидным образом следует из формул (12.11) связи между старыми и новыми координатами.

А Н. Колмогоров — разносторонний ученый Научной работой стал заниматься еще будучи студентом Московского университета. Многочисленные исследования А. Н. Колмогорова относятся к решению актуальных проблем современной математики (теория вероятностей, теория функций, топология и т. д.). А. Н. Колмогоров известен также оригинальными результатами по философии математики, математической логике, основаниям математики.

Выпуклость функции