Парабола Кривые и поверхности второго порядка

 

В школьном курсе математики достаточно подробно изучалась парабола, которая, по определению, являлась графиком квадратного трехчлена. Здесь мы дадим другое (геометрическое) определение параболы.
        Определение 12.7   Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до фиксированной точки этой плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой, лежащей в той же плоскости и называемой директрисой параболы.         
Чтобы получить уравнение кривой, соответствующей этому определению, введем подходящую систему координат. Для этого из фокуса $ F$ опустим перпендикуляр $ FD$ на директрису $ l$ . Начало координат $ O$ расположим на середине отрезка $ FD$ , ось $ Ox$ направим вдоль отрезка $ FD$ так, чтобы ее направление совпадало с направлением вектора $ \overrightarrow {FD}$ . Ось $ Oy$ проведем перпендикулярно оси $ Ox$ (рис. 12.15).


[an error occurred while processing this directive]

Рис.12.15.


        Теорема 12.4   Пусть расстояние между фокусом $ F$ и директрисой $ l$ параболы равно $ p$ . Тогда в выбранной системе координат парабола имеет уравнение
$\displaystyle y^2=2px.$(12.10)

        Доказательство.     В выбранной системе координат фокусом параболы служит точка $ F\left(\frac p2,0\right)$ , а директриса имеет уравнение $ {x=-\frac p2}$ (рис. 12.15).

Пусть $ M(x;y)$  -- текущая точка параболы. Тогда по формуле (10.4) для плоского случая находим

$\displaystyle FM=\sqrt{\left(x-\frac p2\right)^2+(y-0)^2}=\sqrt{\left(x-\frac p2\right)^2 +y^2}.$
Расстоянием от точки $ M$ до директрисы $ l$ служит длина перпендикуляра $ MK$ , опущенного на директрису из точки $ M$ . Из рисунка 12.15 очевидно, что $ {MK=x+\frac p2}$ . Тогда по определению параболы $ {MK=FM}$ , то есть
$\displaystyle x+\frac p2=\sqrt{\left(x-\frac p2\right)^2+y^2}.$
Возведем обе части последнего уравнения в квадрат:
$\displaystyle \left(x+\frac p2\right)^2=\left(x-\frac p2\right)^2+y^2,$
откуда
$\displaystyle x^2+px+\frac{p^2}4=x^2-px+\frac{p^2}4+y^2.$
После приведения подобных членов получим уравнение (12.10).     

Уравнение (12.10) называется каноническим уравнением параболы.

        Предложение 12.4   Парабола обладает осью симметрии. Если парабола задана каноническим уравнением, то ось симметрии совпадает с осью $ Ox$ .
        Доказательство.     Проводится так же, как и доказательство  (предложения 12.1).     

Точка пересечения оси симметрии с параболой называется вершиной параболы.

Если переобозначить переменные $ \tilde x=y$ , $ \tilde y=x$ , то уравнение (12.10) можно записать в виде

$\displaystyle \tilde y=\frac1{2p}\tilde x^2,$
который совпадает с обычным уравнением параболы в школьном курсе математики. Поэтому параболу нарисуем без дополнительных исследований (рис. 12.16).




Рис.12.16.Парабола



А Н. Колмогоров — разносторонний ученый Научной работой стал заниматься еще будучи студентом Московского университета. Многочисленные исследования А. Н. Колмогорова относятся к решению актуальных проблем современной математики (теория вероятностей, теория функций, топология и т. д.). А. Н. Колмогоров известен также оригинальными результатами по философии математики, математической логике, основаниям математики.

Выпуклость функции