Операции над векторами Векторная алгебра

Теорема 10.1 Для любых векторов $ {\bf a},{\bf b},{\bf c}$ и любых вещественных чисел $ {\alpha},{\beta}$ выполняются следующие свойства:
1) $ {\bf a}+{\bf b}={\bf b}+{\bf a}$ (свойство коммутативности операции сложения);
2) $ ({\bf a}+{\bf b})+{\bf c}={\bf a}+({\bf b}+{\bf c})$ (свойство ассоциативности операции сложения);
3) $ {{\bf a}}+0={\bf a}$ ;
4) $ {{\bf a}+(- {\bf a})}=0$ ;
5) $ {\alpha}({\beta}{\bf a})=({\alpha}{\beta}){\bf a}$ (свойство ассоциативности по отношению к числам);
6) $ {\alpha}({\bf a}+{\bf b})={\alpha}{\bf a}+{\alpha}{\bf b}$ (свойство дистрибутивности по отношению к умножению на число);
7) $ ({\alpha}+{\beta}){\bf a}={\alpha}{\bf a}+{\beta}{\bf a}$ (свойство дистрибутивности по отношению к умножению на вектор;
8) $ 1\cdot{\bf a}={\bf a}$ .

Доказательство. Свойство 1 следует из того, что при сложении векторов по правилу параллелограмма (рис. 10.2) порядок слагаемых не влияет на построение параллелограмма. Доказательство свойства 2 следует из рисунка 10.5.




Рис.10.5.Ассоциативность сложения


Свойства 3 и 4 очевидны при сложении векторов по правилу треугольника.

Докажем свойство 5. Векторы, стоящие в обеих частях доказываемого равенства, имеют одинаковую длину $ \vert{\alpha}\vert\cdot\vert{\beta}\vert\cdot\vert{\bf a}\vert$ . Если это произведение равно нулю, то векторы в правой и левой частях доказываемого равенства нулевые и, следовательно, равны друг другу. В противном случае векторы $ {\alpha}({\beta}{\bf a})$ и $ ({\alpha}{\beta}){\bf a}$ коллинеарны вектору a и имеют с ним одинаковое направление, если числа $ {\alpha}$ и $ {\beta}$ одного знака, и направление, противоположное вектору a, если $ {\alpha}$ и $ {\beta}$ разного знака. Следовательно, $ {{\alpha}({\beta}{\bf a})=({\alpha}{\beta})
{\bf a}}$ .

Свойство 6 очевидно, если $ {{\alpha}=0}$ . Если $ {\alpha}<0$ и векторы a и b неколлинеарны, то это свойство вытекает из подобия треугольников на рисунке 10.6.




Рис.10.6.Свойство дистрибутивности


Случаи, когда $ {\alpha}>0$ или a и b коллинеарны, предоставляем проанализировать читателю самостоятельно.

Для доказательства свойства 7 заметим, что векторы $ {{\bf f}=({\alpha}+{\beta}){\bf a}}$ и $ {{\bf g}={\alpha}{\bf a}+{\beta}{\bf a}}$ коллинеарны. Без ограничения общности можно считать, что $ \vert{\alpha}\vert\geqslant \vert{\beta}\vert$ (в противном случае поменяем местами $ {\alpha}$ и $ {\beta}$ в доказываемом равенстве).

Пусть $ {\alpha}$ и $ {\beta}$ одного знака. Тогда $ \vert{\bf f}\vert=\vert{\alpha}+{\beta}\vert\cdot\vert{\bf a}\vert=
(\vert{\alpha}\vert+\vert{\beta}\vert)\vert{\bf a}\vert$ , $ {\bf g}=\vert{\alpha}\vert\cdot\vert{\bf a}\vert+\vert{\beta}\vert\cdot\vert{\bf a}\vert=
(\vert{\alpha}\vert+\vert{\beta}\vert)\vert{\bf a}\vert$ .

Пусть $ {\alpha}$ и $ {\beta}$ имеют разные знаки. Тогда $ {\vert{\bf f}\vert=(\vert{\alpha}\vert-\vert{\beta}\vert)\vert{\bf a}\vert}$ , $ \vert{\bf g}\vert=\vert{\alpha}\vert\cdot\vert{\bf a}\vert-\vert{\beta}\vert\cdot\vert{\bf a}\vert=(\vert{\alpha}\vert-\vert{\beta}\vert)\vert{\bf a}\vert$ . Получили, что $ {\vert{\bf f}\vert=\vert{\bf g}\vert}$ в обоих случаях.

Векторы f и g имеют одно направление. Оно совпадает с направлением a при $ {\alpha}>0$ и противоположно при $ {\alpha}<0$ . Следовательно, $ {{\bf f}={\bf g}
}$ . Свойство 7 доказано.

Свойство 8 очевидным образом вытекает из определения 10.9 произведения вектора на число.

Из свойства ассоциативности следует, что в сумме векторов, содержащей три и более слагаемых, можно скобки не ставить. Как найти сумму нескольких слагаемых, не используя попарных сумм, видно из рисунка 10.7.




Рис.10.7.Сумма нескольких слагаемых


Сформулируем еще несколько очевидных свойств операций сложения и умножения вектора на число:
9) равенство $ {\alpha}{{\bf a}}=0$ верно тогда и только тогда, когда или $ {{\alpha}=0}$ , или $ {{\bf a}=0}$ ;
10) вектор, противоположный вектору a, равен $ (-1)\cdot{\bf a}$ , то есть $ {-{\bf a}=(-1)\cdot{\bf a}}$ ;
11) для любых векторов a и b существует такой вектор x, что $ {{\bf a}+ {\bf x}={\bf b}}$ .

За разработку математической теории отечественного кораблестроения накануне Великой Отечественной войны А. Н. Крылову была присуждена Государственная премия I степени. По поводу своего награждения А. Н. Крылов сказал. «Раз партия и правительство дали лестную оценку моим трудам, то я делаю из этого только один вывод: надо с удвоенной энергией продолжать начатые работы для того, чтобы закончить их в возможно более короткие сроки»

Выпуклость функции