Обратная функция Примеры и упражнения Непрерывность функции свойства пределов матрица Многочлен Тейлора Производная Дифференциал Производные высших порядков Теорема Ферма Правило Лопиталя Примеры Асимптоты графика Экстремум функции

Гипербола Кривые и поверхности второго порядка

 

Из школьного курса математики известно, что кривая, задаваемая уравнением $ {y=\frac kx}$ , где $ k$  -- число, называется гиперболой. Однако это -- частный случай гиперболы (равносторонняя гипербола).
        Определение 12.5   Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек той же плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная.         

Так же, как и в случае эллипса, для получения уравнения гиперболы выберем подходящую систему координат. Начало координат расположим на середине отрезка между фокусами, ось $ Ox$ направим вдоль этого отрезка, а ось ординат -- перпендикулярно к нему.

Теорема 12.3  Пусть расстояние между фокусами $ F_1$ и $ F_2$ гиперболы равно $ 2c$ , а абсолютная величина разности расстояний от точки гиперболы до фокусов равна $ 2a$ . Тогда гипербола в выбранной выше системе координат имеет уравнение
$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,$(12.8)

где
$\displaystyle b=\sqrt{c^2-a^2}.$(12.9)

        Доказательство.     Пусть $ M(x;y)$  -- текущая точка гиперболы (рис. 12.9).


Рис.12.9.

Так как разность двух сторон треугольника меньше третьей стороны, то $ {\vert F_1M-F_2M\vert<F_1F_2}$ , то есть $ 2a<2c$ , $ a<c$ . В силу последнего неравенства вещественное число $ b$ , определяемое формулой (12.9), существует.

По условию, фокусы -- $ F_1(-c;0)$ , $ F_2(c;0)$ . По формуле (10.4) для случая плоскости получаем

$\displaystyle F_1M=\sqrt{(x+c)^2+(y-0)^2}=\sqrt{(x+c)^2+y^2},\quad F_2M=\sqrt{(x-c)^2
+y^2}.$
По определению гиперболы
$\displaystyle \left\vert\sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}\right\vert=2a.$
Это уравнение запишем в виде
$\displaystyle \sqrt{(x+c)^2+y^2}=\sqrt{(x-c)^2+y^2}\pm2a.$
Обе части возведем в квадрат:
$\displaystyle x^2+2xc+c^2+y^2=x^2-2xc+c^2+y^2\pm4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+4a^2.$
После приведения подобных членов и деления на 4, приходим к равенству
$\displaystyle xc-a^2=\pm a\sqrt{(x-c)^2+y^2}.$
Опять обе части возведем в квадрат:
% latex2html id marker 47405
$\displaystyle x^2c^2-2xca^2+a^4=a^2(x^2-2xc+c^2+y^2).$
Раскрывая скобку и приводя подобные члены, получим
$\displaystyle x^2(c^2-a^2)-a^2y^2=a^2(c^2-a^2).$
С учетом формулы (12.9) уравнение принимает вид
$\displaystyle x^2b^2-a^2y^2=a^2b^2.$
Разделим обе части уравнения на $ a^2b^2$ и получим уравнение (12.8)     

Уравнение (12.8) называется каноническим уравнением гиперболы.

 Предложение 12.3  Гипербола обладает двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии, на одной из которых лежат фокусы гиперболы, и центром симметрии. Если гипербола задана каноническим уравнением, то ее осями симметрии служат координатные оси $ Ox$ и $ Oy$ , а начало координат -- центр симметрии гиперболы.

        Доказательство.     Проводится аналогично доказательству предложения 12.1.     

Проведем построение гиперболы, заданной уравнением (12.8). Заметим, что из-за симметрии достаточно построить кривую только в первом координатном угле. Выразим из канонического уравнения $ y$ как функцию $ x$ , при условии, что $ y>0$ ,

$\displaystyle y=\frac ba\sqrt{x^2-a^2}$
и построим график этой функции.

Область определения -- интервал

А Н. Колмогоров — разносторонний ученый Научной работой стал заниматься еще будучи студентом Московского университета. Многочисленные исследования А. Н. Колмогорова относятся к решению актуальных проблем современной математики (теория вероятностей, теория функций, топология и т. д.). А. Н. Колмогоров известен также оригинальными результатами по философии математики, математической логике, основаниям математики.

Выпуклость функции