Прямая в пространстве Линия и плоскость

 

Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей. Так как точка прямой прнадлежит каждой из плоскостей, то ее координаты обязаны удовлетворять уравнениям обеих плоскостей, то есть удовлетворять системе из двух уравнений.

Итак, если уравнения двух непараллельных плоскостей -- $ {A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0}$ и $ {A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0}$ , то прямая, являющаяся их линией пересечения, задается системой уравнений

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0.\end{array}\right.$(11.11)

И наоборот, точки, удовлетворяющие такой системе уравнений, образуют прямую, являющуюся линией пересечения плоскостей, чьи уравнения образуют эту систему.

Уравнения(11.11) называют общими уравнениями прямой в пространстве.

Замечание 11.2 Любые попытки с помощью преобразований уравнений системы(11.11) получить одно (линейное) уравнение, задающее прямую, обречены на неудачу. Одно уравнение-- это уравнение плоскости.

Общие уравнения прямой "неудобны" для получения информации о положении прямой.

Например, чтобы найти координаты какой-нибудь точки на прямой, нужно провести довольно сложные вычисления. А именно, задать произвольно какую-нибудь координату, подставить ее в систему(11.11) и из получившейся системы двух уравнений с двумя неизвестными найти две остальные координаты. Причем может оказаться, что полученная система не имеет решений. Тогда нужно произвольно задать другую координату и из системы найти две оставшиеся координаты.

[an error occurred while processing this directive]

Пример 11.2 Требуется найти какую-нибудь точку $ M$ на прямой
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} 3x-y+z+4=0,\\ x+y-2z+1=0.\end{array}\right.$
Решение. Положим $ z=-4$ . Получим систему
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} 3x-y=0,\\ x+y+9=0.\end{array}\right.$
Решая ее, находим $ x=-2.25$ , $ y=-6.75$ .
Ответ: $ M(-2.25;-6.75;-4)$ .

Можно задать прямую в пространстве и другим способом.

Ненулевой вектор, лежащий на прямой (параллельный ей) называется направляющим вектором прямой.

Пусть для прямой $ {\gamma}$ известны ее направляющий вектор $ {\bf p}=(k;l;m)$ и точка $ M_0
(x_0;y_0;z_0)$ , лежащая на этой прямой. Пусть $ M(x;y;z)$ -- произвольная (текущая) точка прямой $ {\gamma}$ . Обозначим через $ {\bf r}_0$ и r радиус-векторы точек $ M_0$ и $ M$ соответственно (рис. 11.11).




Рис.11.11.Векторное уравнение прямой

[an error occurred while processing this directive]

Тогда вектор $ \overrightarrow {M_0M}$ коллинеарен вектору p и, следовательно, $ {\overrightarrow {M_0M}=t{\bf p}}$ , где $ t$ -- некоторое число. Из рис. 11.11 видно, что

$\displaystyle {\bf r}={\bf r}_0+t{\bf p}.$(11.12)

Это уравнение называется векторным уравнением прямой или уравнением в векторной форме. При каждом значении параметра $ t$ мы будем получать новую точку $ M$ на прямой $ {\gamma}$ .
 

 

С 1931 года А. Н. Колмогоров — профессор Московского университета. В 1939 году избран действительным членом Академии наук СССР. Он член Польской Академии наук, член-корреспондент Румынской Академии наук, Индийского и Калькутского математического общества доктор Парижского университета

Выпуклость функции