Общие свойства пределов

В этом разделе мы на основе изученных выше свойств бесконечно малых величин (то есть функций, имеющих предел, равный 0) выясним свойства функций, имеющих произвольное значение предела.

Теорема 2.8 Пусть функции $ f(x)$ и $ g(x)$ имеют пределы при одной и той же базе $ \mathcal{B}$:
$\displaystyle \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L_1;\quad \lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)=L_2.$
Тогда функция $ h(x)=f(x)+g(x)$ также имеет предел при базе $ \mathcal{B}$, и этот предел $ L$ равен сумме пределов слагаемых:
$\displaystyle \lim\limits_{\mathcal{B}}h(x)=\lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)+\lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)=L_1+L_2=L.$

Доказательство. Равенство $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L_1$ означает, в соответствии с теоремой 2.4, что величина $ {\alpha}(x)=f(x)-L_1$-- бесконечно малая; равенство $ \lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)=L_2$-- что $ {\beta}(x)=g(x)-L_2$-- бесконечно малая. Поэтому по теореме 2.5 сумма

$\displaystyle {\alpha}(x)+{\beta}(x)=(f(x)+g(x))-(L_1+L_2)=h(x)-L$

также является бесконечно малой. Теорема 2.4 утверждает, что тот факт, что разность $ h(x)-L$ бесконечно мала, означает, что $ \lim\limits_{\mathcal{B}}h(x)=L$; это и требовалось доказать.

Замечание 2.2 В доказанной теореме не утверждается, что если существует предел суммы, то существуют и пределы слагаемых. Это неверно, что показывает простейший пример: пусть $ f(x)=x$ и $ g(x)=-x$. Тогда $ f(x)+g(x)=0$ и предел $ \lim\limits_{x\to\pm\infty}(f(x)+g(x))=0$, в то время как пределы при $ x\to\pm\infty$ функций $ f(x)$ и $ g(x)$ не существуют.
Так что из несуществования пределов слагаемых не следует несуществование предела суммы.

Теорема 2.9 Пусть функции $ f(x)$ и $ g(x)$ имеют пределы при одной и той же базе $ \mathcal{B}$:
$\displaystyle \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L_1;\quad \lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)=L_2.$
Тогда функция $ h(x)=f(x)g(x)$ также имеет предел при базе $ \mathcal{B}$, и этот предел $ L$ равен произведению пределов сомножителей:
$\displaystyle \lim\limits_{\mathcal{B}}h(x)=\lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)\cdot\lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)=L_1L_2=L.$

Доказательство. Равенство $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L_1$ означает, в соответствии с теоремой 2.4, что величина $ {\alpha}(x)=f(x)-L_1$-- бесконечно малая; равенство $ \lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)=L_2$-- что $ {\beta}(x)=g(x)-L_2$-- бесконечно малая. Поэтому $ f(x)=L_1+{\alpha}(x)$ и $ g(x)=L_2+{\beta}(x)$, откуда

$\displaystyle f(x)g(x)=(L_1+{\alpha}(x))(L_2+{\beta}(x))=L_1L_2+L_2{\alpha}(x)+L_1{\beta}(x)+{\alpha}(x){\beta}(x)$

или

$\displaystyle f(x)g(x)-L_1L_2=L_2{\alpha}(x)+L_1{\beta}(x)+{\alpha}(x){\beta}(x).$

Покажем, что в правой части этого равенства стоит бесконечно малая величина. Величина $ L_2{\alpha}(x)+L_1{\beta}(x)$-- бесконечно малая согласно следствию 2.3, а величина $ {\alpha}(x){\beta}(x)$-- бесконечно малая по теореме 2.7 (величина $ {\beta}(x)$ имеет предел, равный 0, и, следовательно, локально ограничена по теореме 2.6). Поскольку разность между функцией $ h(x)=f(x)g(x)$ и постоянной $ L=L_1L_2$ бесконечно мала при базе $ \mathcal{B}$, то по теореме 2.4 $ \lim\limits_{\mathcal{B}}h(x)=L$; это и требовалось доказать.

 

Ярким представителем современной кибернетики является Андрей Николаевич Колмогоров. Всему миру известны его работы по применению научного математического анализа к поэтическим произведениям художественной литературы. В области кибернетики им высказано много интересных мыслей, догадок и гипотез.

Выпуклость функции